5) 1/(1 + tg² α) + sin² α = 1;

Для доказательства данного тригонометрического тождества, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и определением тангенса.

Известно, что:

$$tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$$.

Тогда $$tg^2 \alpha = \frac{sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha}$$.

Подставим это в исходное выражение:

$$\frac{1}{1 + tg^2 \alpha} + sin^2 \alpha = \frac{1}{1 + \frac{sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha}} + sin^2 \alpha$$

Приведем выражение в знаменателе к общему знаменателю:

$$\frac{1}{\frac{cos^2 \alpha + sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha}} + sin^2 \alpha$$

Основное тригонометрическое тождество: $$sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$$. Тогда:

$$\frac{1}{\frac{1}{cos^2 \alpha}} + sin^2 \alpha$$

$$\frac{1}{\frac{1}{cos^2 \alpha}} = cos^2 \alpha$$

Тогда выражение примет вид:

$$cos^2 \alpha + sin^2 \alpha = 1$$

Согласно основному тригонометрическому тождеству:

$$1 = 1$$

Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.