Тест 10. Теорема Пифагора Вариант 1 1. В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 см и 8 см. Чему равна его гипотенуза? 1) 9 см 2) 10 см 3) 11 см 14) 12 см 2. В прямоугольнике ABCD смежные стороны относятся как 12:5, а его диагональ равна 26 см. Чему равна мень- шая сторона прямоугольника? 1) 24 см 2) 20 см 3) 16 см 4) 10 см 3. Один из внешних углов прямоугольного треугольника равен 135°, а его гипотенуза равна 4√2 см. Чему равны катеты данного треугольника? ☐ 1) 4 см и 4 см 2) 2 см и 2 см 3) 3 см и 3 см 4) 4√2 см и 4√2 см 4. Диагонали ромба равны 24 см и 18 см. Чему равна сто- рона ромба? 1) 21 см 2) 30 см 3) 15 см 4) 20 см 5. Большая диагональ прямоугольной трапеции равна 25 см, а большее основание — 24 см. Найдите площадь трапеции, если её меньшее основание равно 8 см. 6. Основания равнобедренной трапеции равны 10 см и 26 см, а боковая сторона равна 17 см. Найдите площадь трапеции. 7. В параллелограмме ABCD BD = 2√41 см, АС = 26 см, AD = 16 см. Через точку О пересечения диагоналей парал- лелограмма проведена прямая, перпендикулярная сторо- не ВС. Найдите отрезки, на которые эта прямая раздели- ла сторону AD.

1. Гипотенуза прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике с катетами 6 см и 8 см, гипотенуза может быть найдена с помощью теоремы Пифагора:

\(c = \sqrt{a^2 + b^2}\), где \(a\) и \(b\) - катеты, \(c\) - гипотенуза.

Подставляем значения: \[c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\]

Гипотенуза равна 10 см.

Ответ: 2) 10 см

2. Меньшая сторона прямоугольника

Пусть стороны прямоугольника \(12x\) и \(5x\). Диагональ равна 26 см. Используем теорему Пифагора:

\[(12x)^2 + (5x)^2 = 26^2\] \[144x^2 + 25x^2 = 676\] \[169x^2 = 676\] \[x^2 = \frac{676}{169} = 4\] \[x = \sqrt{4} = 2\]

Меньшая сторона равна \(5x = 5 \cdot 2 = 10\) см.

Ответ: 4) 10 см

3. Катеты прямоугольного треугольника

Если один из внешних углов прямоугольного треугольника равен 135°, то один из внутренних углов равен \(180° - 135° = 45°\). Следовательно, второй угол также равен 45°, и треугольник равнобедренный.

Гипотенуза равна \(4\sqrt{2}\) см. Пусть катеты равны \(a\).

По теореме Пифагора: \[a^2 + a^2 = (4\sqrt{2})^2\] \[2a^2 = 16 \cdot 2 = 32\] \[a^2 = 16\] \[a = \sqrt{16} = 4\]

Катеты равны 4 см.

Ответ: 1) 4 см и 4 см

4. Сторона ромба

Диагонали ромба равны 24 см и 18 см. Сторона ромба может быть найдена как: \[a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2}\] где \(d_1\) и \(d_2\) - диагонали.

Подставляем значения: \[a = \sqrt{(\frac{24}{2})^2 + (\frac{18}{2})^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15\]

Сторона ромба равна 15 см.

Ответ: 3) 15 см

5. Площадь трапеции

Большая диагональ прямоугольной трапеции равна 25 см, а большее основание — 24 см. Меньшее основание равно 8 см. Найдем высоту трапеции.

Высота \(h\) может быть найдена из прямоугольного треугольника, образованного высотой, диагональю и разностью оснований.

Разность оснований: \(24 - 8 = 16\) см.

По теореме Пифагора: \[h = \sqrt{25^2 - 16^2} = \sqrt{625 - 256} = \sqrt{369} = 3\sqrt{41}\]

Площадь трапеции: \[S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{24 + 8}{2} \cdot 3\sqrt{41} = 16 \cdot 3\sqrt{41} = 48\sqrt{41}\]

Площадь трапеции равна \(48\sqrt{41}\) см².

6. Площадь равнобедренной трапеции

Основания равнобедренной трапеции равны 10 см и 26 см, а боковая сторона равна 17 см. Найдем высоту трапеции.

Высота \(h\) может быть найдена из прямоугольного треугольника, образованного высотой, боковой стороной и половиной разности оснований.

Полуразность оснований: \(\frac{26 - 10}{2} = \frac{16}{2} = 8\) см.

По теореме Пифагора: \[h = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15\]

Площадь трапеции: \[S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{10 + 26}{2} \cdot 15 = 18 \cdot 15 = 270\]

Площадь трапеции равна 270 см².

7. Отрезки на стороне AD

В параллелограмме \(ABCD\) \(BD = 2\sqrt{41}\) см, \(AC = 26\) см, \(AD = 16\) см. Через точку \(O\) пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая, перпендикулярная стороне \(BC\). Найдем отрезки, на которые эта прямая разделила сторону \(AD\).

Пусть \(AE\) и \(DF\) - перпендикуляры, опущенные из точек \(A\) и \(D\) на прямую, проходящую через точку \(O\).

Так как прямая перпендикулярна \(BC\), она также перпендикулярна \(AD\). Тогда \(AE = DF\) и \(AO = OC\), \(DO = OB\).

Так как \(AD = 16\) см, то отрезки, на которые прямая делит сторону \(AD\), равны половине стороны \(AD\), то есть \(8\) см.