Тест 16. Сумма углов треугольника Вариант 1 A1. В треугольнике ABC угол А прямой, при этом другие два угла: 1) один острый, другой может быть прямым или тупым 2) оба острые 3) могут быть любыми 4) один острый, другой тупой А2. В тупоугольном треугольнике могут быть: 1) прямой и острый углы 2) тупой и прямой углы 3) два тупых угла 4) тупой и два острых угла A3. ∠1= 50°, ∠BCК = 134°. Чему равна величина угла А? 1) 84° 2) 50° 3) 46° 4) 40° A4. Внутренние углы треугольника пропорциональны числам 2, 5 и 8. Чему равен наименьший из его углов? 1) 12° 2) 24° 3) 60° 4) 30° В1. В треугольнике АВС проведены биссектрисы BD и АК. ∠A=50°, ∠B=60°. Найдите угол АОВ, где О – точка пе- ресечения биссектрис треугольника АВС. В2. Внешний угол треугольника равен 140°, а внутренние углы, не смежные с ним, относятся как 3: 4. Найдите раз- ность наибольшего и наименьшего углов треугольника. С1. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов в пять раз меньше суммы двух других.

Ответы:

A1:

Если в треугольнике один угол прямой, то сумма двух других углов равна 90°. Следовательно, оба угла должны быть острыми (меньше 90°).

Ответ: 2) оба острые

A2:

В тупоугольном треугольнике один угол тупой (больше 90°), а два других угла острые (меньше 90°).

Ответ: 4) тупой и два острых угла

A3:

∠ВСК - внешний угол треугольника АВС, смежный с углом ∠ВСА. Значит, ∠ВСА = 180° - ∠ВСК = 180° - 134° = 46°. Сумма углов треугольника равна 180°. Следовательно, ∠А = 180° - ∠1 - ∠ВСА = 180° - 50° - 46° = 84°.

Ответ: 1) 84°

A4:

Пусть углы треугольника равны 2x, 5x и 8x. Тогда 2x + 5x + 8x = 180°, 15x = 180°, x = 12°. Наименьший угол равен 2x = 2 * 12° = 24°.

Ответ: 2) 24°

B1:

Сумма углов треугольника равна 180°, значит, ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 50° - 60° = 70°. Т.к. BD и AK - биссектрисы, то ∠BAO = ∠A/2 = 50°/2 = 25°, ∠ABO = ∠B/2 = 60°/2 = 30°. В треугольнике AOB: ∠AOB = 180° - ∠BAO - ∠ABO = 180° - 25° - 30° = 125°.

Ответ: 125°

B2:

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Пусть внутренние углы, не смежные с внешним, равны 3x и 4x. Тогда 3x + 4x = 140°, 7x = 140°, x = 20°. Углы равны 3x = 3 * 20° = 60° и 4x = 4 * 20° = 80°. Третий угол треугольника равен 180° - 60° - 80° = 40°. Наибольший угол равен 80°, наименьший угол равен 40°. Разность между ними равна 80° - 40° = 40°.

Ответ: 40°

C1:

Пусть углы равнобедренного треугольника равны x, x и 5x. Тогда x + x + 5x = 180°, 7x = 180°, x = 180°/7 ≈ 25.7°. Углы треугольника равны 25.7°, 25.7° и 128.6°. Если один из углов в пять раз меньше суммы двух других, то это угол при основании (т.к. углы при основании в равнобедренном треугольнике равны). Сумма углов треугольника равна 180°, значит, углы при основании равны x, а угол при вершине равен 180° - 2x. По условию, x = (x + 180° - 2x)/5, 5x = 180° - x, 6x = 180°, x = 30°. Угол при вершине равен 180° - 2 * 30° = 120°. Углы треугольника равны 30°, 30° и 120°.

Ответ: 30°, 30° и 120°