Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 567 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода, если скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 6 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 54 часа. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

1. Определим общее время в пути: 54 часа.
2. Из общего времени вычтем время стоянки: \( 54 \text{ ч} - 6 \text{ ч} = 48 \text{ ч} \). Это время в пути по реке.
3. Пусть \( v \) — собственная скорость теплохода (км/ч), а \( c = 3 \) км/ч — скорость течения реки.
4. Скорость теплохода по течению: \( v + c = v + 3 \) (км/ч).
5. Скорость теплохода против течения: \( v - c = v - 3 \) (км/ч).
6. Время в пути по течению: \( t_1 = \frac{567}{v+3} \) (ч).
7. Время в пути против течения: \( t_2 = \frac{567}{v-3} \) (ч).
8. Общее время в пути (без стоянки): \( t_1 + t_2 = 48 \) ч.
9. Составим уравнение: \( \frac{567}{v+3} + \frac{567}{v-3} = 48 \).
10. Разделим обе части уравнения на 9: \( \frac{63}{v+3} + \frac{63}{v-3} = \frac{48}{9} \) → \( \frac{63}{v+3} + \frac{63}{v-3} = \frac{16}{3} \).
11. Приведем дроби к общему знаменателю \( (v+3)(v-3) = v^2 - 9 \): \[ \frac{63(v-3) + 63(v+3)}{v^2 - 9} = \frac{16}{3} \] \[ \frac{63v - 189 + 63v + 189}{v^2 - 9} = \frac{16}{3} \] \[ \frac{126v}{v^2 - 9} = \frac{16}{3} \]
12. Перекрестное умножение: \( 3 \cdot 126v = 16(v^2 - 9) \)
13. \( 378v = 16v^2 - 144 \)
14. Перенесем все в одну сторону: \( 16v^2 - 378v - 144 = 0 \).
15. Разделим на 2: \( 8v^2 - 189v - 72 = 0 \).
16. Найдем дискриминант: \( D = (-189)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-72) = 35721 + 2304 = 38025 \).
17. \( \sqrt{D} = \sqrt{38025} = 195 \).
18. Найдем корни: \( v_1 = \frac{189 + 195}{2 \cdot 8} = \frac{384}{16} = 24 \).
19. \( v_2 = \frac{189 - 195}{16} = \frac{-6}{16} \) (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной).

Ответ: 24 км/ч.