Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 468 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 22 км/ч, стоянка длится 3 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 47 часов. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть \( v_{теч} \) — скорость течения реки (км/ч), а \( v_{т} \) — скорость теплохода в неподвижной воде. По условию \( v_{т} = 22 \) км/ч.

1. Определим время движения по течению и против течения.

Общее время в пути — 47 часов. Время стоянки — 3 часа. Следовательно, время движения равно \( 47 - 3 = 44 \) часа.

Скорость теплохода по течению: \( v_{по теч} = v_{т} + v_{теч} = 22 + v_{теч} \) км/ч.

Скорость теплохода против течения: \( v_{против теч} = v_{т} - v_{теч} = 22 - v_{теч} \) км/ч.

Расстояние, которое проходит теплоход по течению и против течения, одинаково — 468 км.

Время движения по течению: \( t_{по теч} = \frac{468}{22 + v_{теч}} \) часа.

Время движения против течения: \( t_{против теч} = \frac{468}{22 - v_{теч}} \) часа.

2. Составим уравнение.

Общее время движения равно сумме времени по течению и против течения:

\( t_{по теч} + t_{против теч} = 44 \)

\( \frac{468}{22 + v_{теч}} + \frac{468}{22 - v_{теч}} = 44 \)

3. Решим уравнение.

Разделим обе части уравнения на 44:

\( \frac{468}{44(22 + v_{теч})} + \frac{468}{44(22 - v_{теч})} = 1 \)

\( \frac{117}{11(22 + v_{теч})} + \frac{117}{11(22 - v_{теч})} = 1 \)

Умножим обе части на \( 11(22 + v_{теч})(22 - v_{теч}) \):

\( 117(22 - v_{теч}) + 117(22 + v_{теч}) = 11(22 + v_{теч})(22 - v_{теч}) \)

\( 117 \cdot 22 - 117 v_{теч} + 117 \cdot 22 + 117 v_{теч} = 11(22^2 - v_{теч}^2) \)

\( 2 \cdot 117 \cdot 22 = 11(484 - v_{теч}^2) \)

\( 2574 \cdot 2 = 11(484 - v_{теч}^2) \)

\( 5148 = 11(484 - v_{теч}^2) \)

Разделим обе части на 11:

\( \frac{5148}{11} = 484 - v_{теч}^2 \)

\( 468 = 484 - v_{теч}^2 \)

\( v_{теч}^2 = 484 - 468 \)

\( v_{теч}^2 = 16 \)

\( v_{теч} = \sqrt{16} = 4 \) (Так как скорость не может быть отрицательной).

4. Проверка.

Скорость по течению: \( 22 + 4 = 26 \) км/ч. Время по течению: \( \frac{468}{26} = 18 \) часов.

Скорость против течения: \( 22 - 4 = 18 \) км/ч. Время против течения: \( \frac{468}{18} = 26 \) часов.

Общее время движения: \( 18 + 26 = 44 \) часа. Общее время с учетом стоянки: \( 44 + 3 = 47 \) часов. Условие выполнено.

Ответ: 4