Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 20 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 6 км/ч, стоянка длится 3 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 15 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Дано:

Расстояние до пункта назначения \( S = 20 \) км.

Скорость теплохода в неподвижной воде \( V_т = 6 \) км/ч.

Время стоянки \( t_с = 3 \) часа.

Общее время в пути \( T_{общ} = 15 \) часов.

Найти:

Скорость течения реки \( V_тч \) км/ч.

Решение:

1. Обозначим скорость течения реки как \( x \) км/ч.
2. Скорость теплохода по течению: \( V_{по \; теч} = V_т + x = 6 + x \) км/ч.
3. Скорость теплохода против течения: \( V_{против \; теч} = V_т - x = 6 - x \) км/ч.
4. Время в пути по течению: \( t_{по \; теч} = \frac{S}{V_{по \; теч}} = \frac{20}{6+x} \) часа.
5. Время в пути против течения: \( t_{против \; теч} = \frac{S}{V_{против \; теч}} = \frac{20}{6-x} \) часа.
6. Общее время в пути складывается из времени движения по течению, времени стоянки и времени движения против течения: \( T_{общ} = t_{по \; теч} + t_с + t_{против \; теч} \).
7. Подставим известные значения: \( 15 = \frac{20}{6+x} + 3 + \frac{20}{6-x} \).
8. Вычтем время стоянки из общего времени: \( 15 - 3 = 12 \) часов. Это время движения теплохода.
9. Составим уравнение: \( \frac{20}{6+x} + \frac{20}{6-x} = 12 \).
10. Приведём к общему знаменателю: \( \frac{20(6-x) + 20(6+x)}{(6+x)(6-x)} = 12 \).
11. Упростим числитель: \( \frac{120 - 20x + 120 + 20x}{36 - x^2} = 12 \).
12. \[ \frac{240}{36 - x^2} = 12 \].
13. \[ 240 = 12(36 - x^2) \].
14. \[ 20 = 36 - x^2 \].
15. \[ x^2 = 36 - 20 \].
16. \[ x^2 = 16 \].
17. \[ x = \pm 4 \].
18. Поскольку скорость течения не может быть отрицательной, выбираем положительное значение. Также, скорость течения не может быть больше скорости теплохода в неподвижной воде, иначе он бы не смог двигаться против течения.
19. \( x = 4 \) км/ч.

Проверка:

Время по течению: \( \frac{20}{6+4} = \frac{20}{10} = 2 \) часа.

Время против течения: \( \frac{20}{6-4} = \frac{20}{2} = 10 \) часов.

Общее время: \( 2 + 10 + 3 = 15 \) часов. Условие выполняется.

Ответ: 4 км/ч.