Тема Вариант 1 Вариант 2 Задание на дом Контрольная работа № 3 УРОК 40 1. Найдите все углы, образовавшиеся при пересече нии двух параллельных прямых а и в секущей с, если один из углов на 30° меньше другого. 2. На рисунке 40.1 АВ = CD, BC = AD. Дока- жите, что АB || CD, BC || AD. 3. В треугольнике АВС ДА = 80°, ∠C = 50°. До- кажите, что биссектриса АМ угла BAD, смежно- го с углом А треугольника, параллельна ВС. 1. Найдите все углы, образовавшиеся при пересече- нии двух параллельных прямых а и в секущей с, если один из углов в 5 раз больше другого. 2. На рисунке 40.2 МО = ОР, NO = ОК. Докажи- те, что ММ || PK, NP || MK. 3. В равнобедренном треугольнике АВС с основа- нием АВ ДА = 60°. Докажите, что биссектриса В угла СВД, смежного с углом В треугольника, параллельна Ав. Вырезать из бумаги произвольный треугольник, принести транспортир. 42 P N C B A Рис. 40.1 M Q D Рис. 40.2 51

Задача 1

Пусть один угол равен x, тогда другой угол равен x + 30°. Так как при пересечении параллельных прямых секущей соответственные углы равны, а сумма смежных углов равна 180°, составим уравнение:

\[x + (x + 30) = 180\]

\[2x + 30 = 180\]

\[2x = 150\]

\[x = 75\]

Значит, один угол равен 75°, а другой 75° + 30° = 105°.

Ответ: Углы равны 75° и 105°.

Задача 2

Дано: AB = CD, BC = AD (по условию).

Доказать: AB || CD, BC || AD.

Доказательство: Рассмотрим четырехугольник ABCD. Так как AB = CD и BC = AD, то по признаку параллелограмма (если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то это параллелограмм), ABCD является параллелограммом. Следовательно, AB || CD и BC || AD.

Ответ: ABCD - параллелограмм, AB || CD, BC || AD.

Задача 3

Дано: ∠A = 80°, ∠C = 50°.

Доказать: Биссектриса AM угла BAD параллельна BC.

Решение:

• Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 80° - 50° = 50°.
• Угол, смежный с углом A, равен 180° - ∠A = 180° - 80° = 100°.
• Так как AM - биссектриса угла BAD, то ∠BAM = 100° / 2 = 50°.
• ∠BAM = ∠B = 50°. Эти углы являются соответственными при прямых AM и BC и секущей AB.
• По признаку параллельности прямых (если соответственные углы равны, то прямые параллельны), AM || BC.

Ответ: AM || BC.

Задача 1

Пусть один угол равен x, тогда другой угол равен 5x. Сумма смежных углов равна 180°.

\[x + 5x = 180\]

\[6x = 180\]

\[x = 30\]

Значит, один угол равен 30°, а другой 5 * 30° = 150°.

Ответ: Углы равны 30° и 150°.

Задача 2

Дано: MO = OP, NO = OK (по условию).

Доказать: MN || PK, NP || MK.

Доказательство: Рассмотрим четырехугольник MNPK. Так как диагонали MP и NK в точке O делятся пополам (MO = OP, NO = OK), то по признаку параллелограмма (если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм), MNPK является параллелограммом. Следовательно, MN || PK и NP || MK.

Ответ: MNPK - параллелограмм, MN || PK, NP || MK.

Задача 3

Дано: Треугольник ABC - равнобедренный, AB - основание, ∠A = 60°.

Доказать: Биссектриса угла CBD параллельна AC.

Решение:

• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому ∠B = ∠A = 60°.
• Тогда ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 60° - 60° = 60°.
• Угол CBD, смежный с углом B, равен 180° - ∠B = 180° - 60° = 120°.
• Так как BN - биссектриса угла CBD, то ∠CBN = 120° / 2 = 60°.
• ∠CBN = ∠C = 60°. Эти углы являются соответственными при прямых BN и AC и секущей BC.
• По признаку параллельности прямых (если соответственные углы равны, то прямые параллельны), BN || AC.

Ответ: BN || AC.