Тема. Равнобедренный треугольник а) Найдите периметр треугольника, если два его угла равны, а две стороны имеют длины 20 см и 10 см. 6) В треугольнике АВС ∠B=100°, ∠A=40°. Точка D при-надлежит стороне АС. Причем угол BDC - тупой. Докажите, что АВ>BD. в) В треугольнике МРК ZM=30°, ∠P=100°. На стороне МР отмечена точка D так, что ∠DKP=20°. Сравните отрезки MD и DP.

Ответ: 50 см или 40 см

Решение:

а) Рассмотрим два случая:

• Если боковые стороны по 20 см, то основание 10 см.

Тогда периметр равен:

• Если боковые стороны по 10 см, то основание 20 см.

Но такого треугольника не существует, так как сумма двух сторон (10 + 10) должна быть больше третьей стороны (20), а у нас получается равенство.

Тогда периметр равен:

б) Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle B = 100^\circ\), \(\angle A = 40^\circ\), \(D \in AC\), \(\angle BDC\) - тупой.

Доказать: \(AB > BD\)

Доказательство:

1. \(\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 40^\circ - 100^\circ = 40^\circ\)
2. \(\triangle ABC\) - равнобедренный, следовательно \(AB = BC\).
3. \(\angle BDC\) - тупой, следовательно \(\angle BDC > 90^\circ\).
4. \(\angle DBC = 180^\circ - \angle BDC - \angle C < 180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\).
5. \(\angle DBC < \angle C\), следовательно \(BC > BD\).
6. Так как \(AB = BC\), следовательно \(AB > BD\).

в) Дано: \(\triangle MPK, \angle M = 30^\circ, \angle P = 100^\circ\), точка \(D\) на стороне \(MP\), \(\angle DKP = 20^\circ\).

Сравнить: \(MD\) и \(DP\).

Решение:

1. \(\angle K = 180^\circ - \angle M - \angle P = 180^\circ - 30^\circ - 100^\circ = 50^\circ\).
2. \(\angle MKD = \angle MKA = \angle M - \angle DKP = 50^\circ - 20^\circ = 30^\circ\).
3. \(\triangle MKD\) - равнобедренный, \(MD = KD\).
4. \(\angle PDK = 180^\circ - \angle DKP = 180^\circ - 20^\circ = 160^\circ\).
5. \(\angle KPD = 100^\circ, \angle KDP = 180^\circ - \angle PDK - \angle DKP\).
6. \(\angle KDP = 180^\circ - 100^\circ - 20^\circ = 60^\circ\).
7. Т.к. \(\angle KDP > \angle DKP\), то \(KP > DP\).

Рассмотрим треугольник \(MKP\): \(\angle M = 30^\circ\), \(\angle P = 100^\circ\), \(\angle K = 50^\circ\). Следовательно, \(KP < MK\).

Т.к. \(KP < MK\), \(MK > DP\), \(MD = KD\).

Ответ: MD < DP