Тема: Обыкновенные дроби 1. Сократите дробь 144/180. 2. Приведите дроби 5/12 и 7/18 к наименьшему общему знаменателю. Выполните все арифметические действия с дробями. 3. Сравните дроби 17/24 и 19/30, приведя их к общему знаменателю. 4. Выполните сложение: 3/8+5/12+1/6. 5. В корзине было несколько грибов. Сначала взяли 2/5 всех грибов, затем ещё 1/3 от оставшихся. После этого осталось 24 гриба. Сколько грибов было в корзине изначально?

Решение:

1. Сокращение дроби 144/180:

   Находим наибольший общий делитель (НОД) для 144 и 180. Разложим числа на простые множители:

   144 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3

   180 = 2 * 2 * 3 * 3 * 5

   НОД(144, 180) = 2 * 2 * 3 * 3 = 36

   Делим числитель и знаменатель на 36:

   \[ \frac{144}{180} = \frac{144 \div 36}{180 \div 36} = \frac{4}{5} \]

2. Приведение дробей 5/12 и 7/18 к наименьшему общему знаменателю (НОЗ) и арифметические действия:

   Находим НОЗ(12, 18). Разложим числа на простые множители:

   12 = 2 * 2 * 3

   18 = 2 * 3 * 3

   НОЗ(12, 18) = 2 * 2 * 3 * 3 = 36

   Приводим дроби к знаменателю 36:

   \[ \frac{5}{12} = \frac{5 \times 3}{12 \times 3} = \frac{15}{36} \]

   \[ \frac{7}{18} = \frac{7 \times 2}{18 \times 2} = \frac{14}{36} \]

   Сложение:

   \[ \frac{15}{36} + \frac{14}{36} = \frac{15 + 14}{36} = \frac{29}{36} \]

   Вычитание:

   \[ \frac{15}{36} - \frac{14}{36} = \frac{15 - 14}{36} = \frac{1}{36} \]

   Умножение:

   \[ \frac{5}{12} \times \frac{7}{18} = \frac{5 \times 7}{12 \times 18} = \frac{35}{216} \]

   Деление:

   \[ \frac{5}{12} \div \frac{7}{18} = \frac{5}{12} \times \frac{18}{7} = \frac{5 \times 18}{12 \times 7} = \frac{90}{84} = \frac{15}{14} \]

3. Сравнение дробей 17/24 и 19/30:

   Находим НОЗ(24, 30). Разложим числа на простые множители:

   24 = 2 * 2 * 2 * 3

   30 = 2 * 3 * 5

   НОЗ(24, 30) = 2 * 2 * 2 * 3 * 5 = 120

   Приводим дроби к знаменателю 120:

   \[ \frac{17}{24} = \frac{17 \times 5}{24 \times 5} = \frac{85}{120} \]

   \[ \frac{19}{30} = \frac{19 \times 4}{30 \times 4} = \frac{76}{120} \]

   Сравниваем числители: 85 > 76, значит, \[ \frac{85}{120} > \frac{76}{120} \].

   Следовательно, \[ \frac{17}{24} > \frac{19}{30} \].

4. Сложение дробей 3/8+5/12+1/6:

   Находим НОЗ(8, 12, 6). Разложим числа на простые множители:

   8 = 2 * 2 * 2

   12 = 2 * 2 * 3

   6 = 2 * 3

   НОЗ(8, 12, 6) = 2 * 2 * 2 * 3 = 24

   Приводим дроби к знаменателю 24:

   \[ \frac{3}{8} = \frac{3 \times 3}{8 \times 3} = \frac{9}{24} \]

   \[ \frac{5}{12} = \frac{5 \times 2}{12 \times 2} = \frac{10}{24} \]

   \[ \frac{1}{6} = \frac{1 \times 4}{6 \times 4} = \frac{4}{24} \]

   Выполняем сложение:

   \[ \frac{9}{24} + \frac{10}{24} + \frac{4}{24} = \frac{9 + 10 + 4}{24} = \frac{23}{24} \]

5. Сколько грибов было в корзине изначально?

   Пусть X — начальное количество грибов.

   Взяли 2/5 всех грибов, то есть \[ \frac{2}{5}X \].

   Осталось грибов: \[ X - \frac{2}{5}X = \frac{3}{5}X \].

   Затем взяли 1/3 от оставшихся, то есть \[ \frac{1}{3} \times \frac{3}{5}X = \frac{1}{5}X \].

   Всего взяли: \[ \frac{2}{5}X + \frac{1}{5}X = \frac{3}{5}X \].

   После этого осталось 24 гриба. Это означает, что 24 гриба составляют ту часть, которая осталась после того, как взяли 1/3 от остатка.

   Если после взятия 1/3 осталось 24 гриба, то эти 24 гриба составляют 2/3 от того количества, что было перед этим шагом.

   Пусть Y — количество грибов перед вторым взятием. Тогда \[ \frac{2}{3}Y = 24 \].

   Отсюда, \[ Y = 24 \times \frac{3}{2} = 12 \times 3 = 36 \].

   Это количество грибов, которое осталось после первого взятия (2/5).

   Значит, 36 грибов составляют 3/5 от начального количества (X).

   \[ \frac{3}{5}X = 36 \]

   \[ X = 36 \times \frac{5}{3} = 12 \times 5 = 60 \].

   Проверка:

   Изначально было 60 грибов.

   Взяли 2/5 от 60: \[ \frac{2}{5} \times 60 = 2 \times 12 = 24 \].

   Осталось: 60 - 24 = 36 грибов.

   Взяли 1/3 от оставшихся (36): \[ \frac{1}{3} \times 36 = 12 \].

   Осталось: 36 - 12 = 24 гриба. Это соответствует условию.

Ответ: 1. 4/5. 2. 29/36 (сложение), 1/36 (вычитание), 35/216 (умножение), 15/14 (деление). 3. 17/24 > 19/30. 4. 23/24. 5. 60 грибов.