Тема. Квадратные уравнения. Теорема Виета 1. Решите уравнение: 1) 7.x-210 2-21=0; 4) 3x²-28x+9=0; 2) 5x²+9x0; 5) 2x²-8x+11=0; 3) x²+x-42 = 0; 6) 16x28x+1=0. 2. Составьте приведённое квадратное уравнение, сумма корней которого равна 10, а произведение числу 8. 3. Диагональ прямоугольника на 8 см больше одной из его сторон и на 4 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника. 4. 5. Число 3 является корнем уравнения 2х2 + 7x + c = 0. Найдите значение с и второй корень уравнения. При каком значении а уравнение 3х26х+а=0 име ет единственный корень? 6. - Известно, что хи ха корни уравнения х²+12х + +60. He pешая уравнения, найдите значение выра жения х+х2. 1

1. Решите уравнение:

1. 7x² - 21 = 0
• 7x² = 21
• x² = 3
• x = ±√3
2. 5x² + 9x = 0
• x(5x + 9) = 0
• x = 0 или 5x + 9 = 0
• x = 0 или x = -9/5 = -1.8
3. x² + x - 42 = 0
• По теореме Виета: x₁ + x₂ = -1, x₁ * x₂ = -42
• x₁ = -7, x₂ = 6
4. 3x² - 28x + 9 = 0
• D = (-28)² - 4 * 3 * 9 = 784 - 108 = 676
• x = (28 ± √676) / (2 * 3) = (28 ± 26) / 6
• x₁ = (28 + 26) / 6 = 54 / 6 = 9
• x₂ = (28 - 26) / 6 = 2 / 6 = 1/3
5. 2x² - 8x + 11 = 0
• D = (-8)² - 4 * 2 * 11 = 64 - 88 = -24
• Т.к. D < 0, уравнение не имеет действительных корней.
6. 16x² - 8x + 1 = 0
• (4x - 1)² = 0
• 4x - 1 = 0
• x = 1/4 = 0.25

2. Составьте приведённое квадратное уравнение, сумма корней которого равна -10, а произведение числу 8.

• Приведённое квадратное уравнение имеет вид: x² + px + q = 0, где p = -(x₁ + x₂), q = x₁ * x₂
• x₁ + x₂ = -10, x₁ * x₂ = 8
• p = -(-10) = 10, q = 8
• x² + 10x + 8 = 0

3. Диагональ прямоугольника на 8 см больше одной из его сторон и на 4 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника.

• Пусть a и b - стороны прямоугольника, d - диагональ.
• d = a + 8, d = b + 4
• a = d - 8, b = d - 4
• По теореме Пифагора: a² + b² = d²
• (d - 8)² + (d - 4)² = d²
• d² - 16d + 64 + d² - 8d + 16 = d²
• d² - 24d + 80 = 0
• D = (-24)² - 4 * 1 * 80 = 576 - 320 = 256
• d = (24 ± √256) / 2 = (24 ± 16) / 2
• d₁ = (24 + 16) / 2 = 40 / 2 = 20
• d₂ = (24 - 16) / 2 = 8 / 2 = 4 (не подходит, т.к. d > 8)
• a = 20 - 8 = 12
• b = 20 - 4 = 16

4. Число -3 является корнем уравнения 2x² + 7x + c = 0. Найдите значение c и второй корень уравнения.

• 2*(-3)² + 7*(-3) + c = 0
• 2*9 - 21 + c = 0
• 18 - 21 + c = 0
• -3 + c = 0
• c = 3
• 2x² + 7x + 3 = 0
• D = 7² - 4 * 2 * 3 = 49 - 24 = 25
• x = (-7 ± √25) / (2 * 2) = (-7 ± 5) / 4
• x₁ = (-7 + 5) / 4 = -2 / 4 = -1/2 = -0.5
• x₂ = (-7 - 5) / 4 = -12 / 4 = -3

5. При каком значении a уравнение 3x² - 6x + a = 0 имеет единственный корень?

• Уравнение имеет единственный корень, если дискриминант равен нулю.
• D = (-6)² - 4 * 3 * a = 36 - 12a
• 36 - 12a = 0
• 12a = 36
• a = 3

6. Известно, что x₁ и x₂ - корни уравнения x² + 12x + 6 = 0. Не решая уравнения, найдите значение выражения x₁² + x₂².

• По теореме Виета: x₁ + x₂ = -12, x₁ * x₂ = 6
• x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2 * x₁ * x₂
• x₁² + x₂² = (-12)² - 2 * 6 = 144 - 12 = 132

1.

• 1) x = ±√3
• 2) x = 0, x = -1.8
• 3) x = -7, x = 6
• 4) x₁ = 9, x₂ = 1/3
• 5) Нет корней
• 6) x = 0.25

2. x² + 10x + 8 = 0

3. a = 12 см, b = 16 см

4. c = 3, x = -0.5

5. a = 3

6. x₁² + x₂² = 132