Тема: Контрольная работа № по теме "Длина окружности и площадь круга". І вариант 1. Найдите площадь круга и длину ограничивающей его окруж- ности, если сторона правильного треугольника, вписанного в него, равна 5√3 см! 2. Вычислите длину дуги окруж- ности с радиусом 4см, если её градусная мера равна 120°. Чему равна площадь соответст- вуючуего, данной дуге кругового сектора? 3. Периметр правильного треуголь- ника, вписанного в окружность, равен 6√3 см. Найдите периметр правильного шестиугольника, описанного около той же окружности.

Решение варианта 1

Задание 1: Найти площадь круга и длину окружности, если сторона правильного треугольника, вписанного в него, равна 5√3 см.

1. Сначала найдем радиус окружности, описанной около правильного треугольника. Известно, что сторона правильного треугольника связана с радиусом описанной окружности формулой:

   \[ a = R\sqrt{3} \]

   где a - сторона треугольника, R - радиус описанной окружности. Выразим R:

   \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \]

   Подставим значение стороны треугольника:

   \[ R = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 5 \text{ см} \]

2. Теперь найдем площадь круга по формуле:

   \[ S = \pi R^2 \]

   Подставим значение радиуса:

   \[ S = \pi (5)^2 = 25\pi \text{ см}^2 \]

3. Найдем длину окружности по формуле:

   \[ C = 2\pi R \]

   Подставим значение радиуса:

   \[ C = 2\pi (5) = 10\pi \text{ см} \]

Ответ: Площадь круга 25π см², длина окружности 10π см.

Задание 2: Вычислить длину дуги окружности с радиусом 4 см, если её градусная мера равна 120°. Чему равна площадь соответствующего данной дуге кругового сектора?

1. Найдем длину дуги окружности. Длина дуги l выражается формулой:

   \[ l = \frac{\pi R \alpha}{180} \]

   где R - радиус окружности, α - градусная мера дуги. Подставим значения:

   \[ l = \frac{\pi (4) (120)}{180} = \frac{4\pi \cdot 2}{3} = \frac{8\pi}{3} \text{ см} \]

2. Теперь найдем площадь кругового сектора. Площадь сектора S выражается формулой:

   \[ S = \frac{\pi R^2 \alpha}{360} \]

   Подставим значения:

   \[ S = \frac{\pi (4)^2 (120)}{360} = \frac{\pi (16) (120)}{360} = \frac{16\pi \cdot 1}{3} = \frac{16\pi}{3} \text{ см}^2 \]

Ответ: Длина дуги 8π/3 см, площадь сектора 16π/3 см².

Задание 3: Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 6√3 см. Найдите периметр правильного шестиугольника, описанного около той же окружности.

1. Сначала найдем сторону правильного треугольника, вписанного в окружность. Периметр треугольника равен:

   \[ P = 3a \]

   где a - сторона треугольника. Тогда:

   \[ a = \frac{P}{3} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \text{ см} \]

2. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен:

   \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2 \text{ см} \]

3. Радиус вписанной окружности в правильный шестиугольник связан со стороной шестиугольника формулой:

   \[ r = \frac{b\sqrt{3}}{2} \]

   где b - сторона шестиугольника, r - радиус вписанной окружности. Так как радиус окружности, описанной около треугольника, равен радиусу вписанной окружности в шестиугольник, то:

   \[ 2 = \frac{b\sqrt{3}}{2} \]

   Выразим сторону шестиугольника:

   \[ b = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \text{ см} \]

4. Найдем периметр правильного шестиугольника:

   \[ P = 6b = 6 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \text{ см} \]

Ответ: Периметр правильного шестиугольника 8√3 см.

Надеюсь, это поможет тебе в учебе! У тебя все получится!