ТЕМА 5. Неравенства С-41. Свойства числовых неравенств Вариант 2 1. Сравните: а) 3/7 и 0,43; б) 1/6 + 5/8 и 19/25; в) √21 и 4,5; г) √8 - √3 и √6 - √5. 2. Докажите, что если а < 2, b > 3, то 5a – 3b < 1. 3. Известно, что -1 < x < 3. Оцените значение выражения 1-x. С-41. Свойства числовых неравенств Вариант 4 1. Сравните: а) 0,77 и 7/9; б) -1 5/11 и -2 3/4; в) 5,8 и √34; г) 1 - 3√3 и 2√6 - √2. 2. Докажите, что если 0 < a < 1, b > 2, то 1/a + 2b > 5. 3. Известно, что 3,4 < x < 3,5. Оцените значение выражения 1/5 x-2.

1. Сравните:

а) \(\frac{3}{7}\) и 0,43

Логика такая:

\[\frac{3}{7} \approx 0.42857\]

Сравниваем: 0.42857 < 0.43

Ответ: \(\frac{3}{7} < 0.43\)

б) \(\frac{1}{6} + \frac{5}{8}\) и \(\frac{19}{25}\)

Логика такая:

Приведем дроби к общему знаменателю и сравним:

\[\frac{1}{6} + \frac{5}{8} = \frac{4}{24} + \frac{15}{24} = \frac{19}{24}\]

Теперь сравним \(\frac{19}{24}\) и \(\frac{19}{25}\). Так как числители равны, больше та дробь, у которой знаменатель меньше.

Ответ: \(\frac{1}{6} + \frac{5}{8} > \frac{19}{25}\)

в) \(\sqrt{21}\) и 4,5

Логика такая:

Возведем оба числа в квадрат и сравним:

\[(\sqrt{21})^2 = 21\]

\[4.5^2 = 20.25\]

Сравниваем: 21 > 20.25

Ответ: \(\sqrt{21} > 4.5\)

г) \(\sqrt{8} - \sqrt{3}\) и \(\sqrt{6} - \sqrt{5}\)

Логика такая:

Сравним разность чисел:

\[\sqrt{8} - \sqrt{3} \approx 2.828 - 1.732 = 1.096\]

\[\sqrt{6} - \sqrt{5} \approx 2.449 - 2.236 = 0.213\]

Ответ: \(\sqrt{8} - \sqrt{3} > \sqrt{6} - \sqrt{5}\)

2. Докажите, что если a < 2, b > 3, то 5a – 3b < 1.

Логика такая:

Умножим неравенство a < 2 на 5:

\[5a < 10\]

Умножим неравенство b > 3 на 3:

\[3b > 9\]

Умножим неравенство 3b > 9 на -1:

\[-3b < -9\]

Сложим неравенства 5a < 10 и -3b < -9:

\[5a - 3b < 10 - 9\]

\[5a - 3b < 1\]

Что и требовалось доказать.

3. Известно, что -1 < x < 3. Оцените значение выражения 1-x.

Логика такая:

Умножим неравенство -1 < x < 3 на -1. Не забудем сменить знаки неравенства:

\[1 > -x > -3\]

Или:

\[-3 < -x < 1\]

Прибавим ко всем частям неравенства 1:

\[-3 + 1 < 1 - x < 1 + 1\]

\[-2 < 1 - x < 2\]

Ответ: -2 < 1 - x < 2

1. Сравните:

а) 0,77 и \(\frac{7}{9}\)

Логика такая:

\[\frac{7}{9} \approx 0.7777...\]

Сравниваем: 0.77 < 0.7777...

Ответ: \(0.77 < \frac{7}{9}\)

б) \(-1\frac{5}{11}\) и \(-2\frac{3}{4}\)

Логика такая:

Переведем смешанные числа в неправильные дроби и сравним:

\[-1\frac{5}{11} = -\frac{16}{11}\]

\[-2\frac{3}{4} = -\frac{11}{4}\]

Приведем к общему знаменателю 44:

\[-\frac{16}{11} = -\frac{64}{44}\]

\[-\frac{11}{4} = -\frac{121}{44}\]

Сравниваем: \(-\frac{64}{44} > -\frac{121}{44}\)

Ответ: \(-1\frac{5}{11} > -2\frac{3}{4}\)

в) 5,8 и \(\sqrt{34}\)

Логика такая:

Возведем оба числа в квадрат и сравним:

\[5.8^2 = 33.64\]

\[(\sqrt{34})^2 = 34\]

Сравниваем: 33.64 < 34

Ответ: \(5.8 < \sqrt{34}\)

г) \(1 - 3\sqrt{3}\) и \(2\sqrt{6} - \sqrt{2}\)

Логика такая:

Сравним числа:

\[1 - 3\sqrt{3} \approx 1 - 3 \cdot 1.732 = 1 - 5.196 = -4.196\]

\[2\sqrt{6} - \sqrt{2} \approx 2 \cdot 2.449 - 1.414 = 4.898 - 1.414 = 3.484\]

Ответ: \(1 - 3\sqrt{3} < 2\sqrt{6} - \sqrt{2}\)

2. Докажите, что если 0 < a < 1, b > 2, то \(\frac{1}{a} + 2b > 5\).

Логика такая:

Если 0 < a < 1, то \(\frac{1}{a} > 1\). Это следует из свойств обратной пропорциональности.

Если b > 2, то 2b > 4.

Сложим неравенства \(\frac{1}{a} > 1\) и 2b > 4:

\[\frac{1}{a} + 2b > 1 + 4\]

\[\frac{1}{a} + 2b > 5\]

Что и требовалось доказать.

3. Известно, что 3,4 < x < 3,5. Оцените значение выражения \(\frac{1}{5}x - 2\).

Логика такая:

Умножим неравенство 3,4 < x < 3,5 на \(\frac{1}{5}\):

\[\frac{3.4}{5} < \frac{1}{5}x < \frac{3.5}{5}\]

\[0.68 < \frac{1}{5}x < 0.7\]

Вычтем из всех частей неравенства 2:

\[0.68 - 2 < \frac{1}{5}x - 2 < 0.7 - 2\]

\[-1.32 < \frac{1}{5}x - 2 < -1.3\]

Ответ: -1.32 < \(\frac{1}{5}x - 2\) < -1.3