Тема 1.5. КОЛЕБАНИЯ И Волны Задача 1. При выполнении лабораторной работы по определению ускорения свободного падения с использованием математического маятника ученик установил, что маятник длиной / за время совершает № колебаний. Определите значение величины, обозначенной. Как изменится число колебаний, совершаемых за данное время, если длину маятника увеличить в а раз? Вариант 1, м t, мин N α 1 1,5 4,1 * 1,5 2 1,3 * 120 2 3 * 6,5 180 2,5 4 1,2 5,2 * 3 5 1,0 * 80 1,5 6 * 3,0 100 2 7 1,6 6,3 * 2,5 8 1,4 * 200 3 9 * 6,0 150 2 10 0,90 3,8 * 1,5 11 12 1,1 * 100 2,5 * 3,0 80 3 Задача 2. На рисунке С26 (а-е) изображены графики зависимости от времени координаты тела, совершающего гармонические колебания. Используя график, определите амплитуду, период, частоту, круговую частоту колебаний. Запишите аналитическую зависимость координаты тела от времени, вычислите скорость тела в начальный момент времени. Номер варианта соответствует номеру графика.

Ответ: Решение ниже

1. Задача 1
2. Для начала, определим, что требуется найти. В каждом варианте пропущено значение одной из величин: l, t, N или α. Нам нужно найти это пропущенное значение.
3. Вспомним формулу периода колебаний математического маятника:

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \]

1. Здесь T - период колебаний, l - длина маятника, g - ускорение свободного падения (приближенно 9.8 м/с²). Число колебаний N связано с периодом и временем t:

\[ T = \frac{t}{N} \]

1. Выразим N:

\[ N = \frac{t}{T} = \frac{t}{2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}} \]

1. Теперь рассмотрим каждый вариант:
2. Вариант 1: Пропущено N.

• l = 1.5 м
• t = 4.1 мин = 4.1 * 60 = 246 с

\[ N = \frac{246}{2\pi \sqrt{\frac{1.5}{9.8}}} \approx \frac{246}{2\pi \sqrt{0.153}} \approx \frac{246}{2\pi \cdot 0.391} \approx \frac{246}{2.457} \approx 100.12 \]

Округлим до целого числа, так как количество колебаний - целое число: N = 100

1. Вариант 2: Пропущено t.

• l = 1.3 м
• N = 120

Выразим время t:

\[ t = N \cdot T = N \cdot 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \] \[ t = 120 \cdot 2\pi \sqrt{\frac{1.3}{9.8}} \approx 120 \cdot 2\pi \sqrt{0.133} \approx 120 \cdot 2\pi \cdot 0.365 \approx 120 \cdot 2.29 \approx 274.8 \text{ с} \]

Переведем в минуты: t = 274.8 / 60 ≈ 4.58 мин

1. Вариант 3: Пропущено l.

• t = 6.5 мин = 6.5 * 60 = 390 с
• N = 180

Выразим длину l:

\[ T = \frac{t}{N} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \] \[ \frac{t^2}{N^2} = 4\pi^2 \cdot \frac{l}{g} \] \[ l = \frac{g \cdot t^2}{4\pi^2 \cdot N^2} \] \[ l = \frac{9.8 \cdot 390^2}{4\pi^2 \cdot 180^2} \approx \frac{9.8 \cdot 152100}{4 \cdot 9.87 \cdot 32400} \approx \frac{1490580}{1281504} \approx 1.16 \text{ м} \]

1. Вариант 4: Пропущено N.

• l = 1.2 м
• t = 5.2 мин = 5.2 * 60 = 312 с

\[ N = \frac{t}{2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}} = \frac{312}{2\pi \sqrt{\frac{1.2}{9.8}}} \approx \frac{312}{2\pi \sqrt{0.122}} \approx \frac{312}{2\pi \cdot 0.349} \approx \frac{312}{2.19} \approx 142.46 \]

Округлим до целого числа: N = 142

1. Вариант 5: Пропущено t.

• l = 1.0 м
• N = 80

\[ t = N \cdot 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} = 80 \cdot 2\pi \sqrt{\frac{1}{9.8}} \approx 80 \cdot 2\pi \cdot 0.319 \approx 80 \cdot 2.00 \approx 160 \text{ с} \]

Переведем в минуты: t = 160 / 60 ≈ 2.67 мин

1. Вариант 6: Пропущено l.

• t = 3.0 мин = 3.0 * 60 = 180 с
• N = 100

\[ l = \frac{g \cdot t^2}{4\pi^2 \cdot N^2} = \frac{9.8 \cdot 180^2}{4\pi^2 \cdot 100^2} \approx \frac{9.8 \cdot 32400}{4 \cdot 9.87 \cdot 10000} \approx \frac{317520}{394800} \approx 0.80 \text{ м} \]

1. Вариант 7: Пропущено N.

• l = 1.6 м
• t = 6.3 мин = 6.3 * 60 = 378 с

\[ N = \frac{t}{2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}} = \frac{378}{2\pi \sqrt{\frac{1.6}{9.8}}} \approx \frac{378}{2\pi \sqrt{0.163}} \approx \frac{378}{2\pi \cdot 0.404} \approx \frac{378}{2.54} \approx 148.82 \]

Округлим до целого числа: N = 149

1. Вариант 8: Пропущено t.

• l = 1.4 м
• N = 200

\[ t = N \cdot 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} = 200 \cdot 2\pi \sqrt{\frac{1.4}{9.8}} \approx 200 \cdot 2\pi \cdot 0.378 \approx 200 \cdot 2.37 \approx 474 \text{ с} \]

Переведем в минуты: t = 474 / 60 ≈ 7.9 мин

1. Вариант 9: Пропущено l.

• t = 6.0 мин = 6.0 * 60 = 360 с
• N = 150

\[ l = \frac{g \cdot t^2}{4\pi^2 \cdot N^2} = \frac{9.8 \cdot 360^2}{4\pi^2 \cdot 150^2} \approx \frac{9.8 \cdot 129600}{4 \cdot 9.87 \cdot 22500} \approx \frac{1260000}{888300} \approx 1.42 \text{ м} \]

1. Вариант 10: Пропущено N.

• l = 0.90 м
• t = 3.8 мин = 3.8 * 60 = 228 с

\[ N = \frac{t}{2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}} = \frac{228}{2\pi \sqrt{\frac{0.9}{9.8}}} \approx \frac{228}{2\pi \sqrt{0.092}} \approx \frac{228}{2\pi \cdot 0.303} \approx \frac{228}{1.90} \approx 120 \]

1. Вариант 11: Пропущено l.

• t = 1.1 мин = 1.1 * 60 = 66 с
• N = 100

\[ l = \frac{g \cdot t^2}{4\pi^2 \cdot N^2} = \frac{9.8 \cdot 66^2}{4\pi^2 \cdot 100^2} \approx \frac{9.8 \cdot 4356}{4 \cdot 9.87 \cdot 10000} \approx \frac{42688.8}{394800} \approx 0.11 \text{ м} \]

1. Вариант 12: Пропущено t.

• l = 3.0 м
• N = 80

\[ t = N \cdot 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} = 80 \cdot 2\pi \sqrt{\frac{3.0}{9.8}} \approx 80 \cdot 2\pi \cdot 0.553 \approx 80 \cdot 3.47 \approx 277.6 \text{ с} \]

Переведем в минуты: t = 277.6 / 60 ≈ 4.63 мин

Задача 2

• По графику а):

• Амплитуда (Xm) = 2 мм = 0.002 м
• Период (T) = 20 мс = 0.02 с
• Частота (ν) = 1 / T = 1 / 0.02 = 50 Гц
• Круговая частота (ω) = 2πν = 2 * 3.14 * 50 = 314 рад/с
• Аналитическое выражение x(t) = Xm * cos(ωt) = 0.002 * cos(314t) м
• Скорость в начальный момент времени = 0 (т.к. в начальный момент времени координата максимальна)

• По графику б):

• Амплитуда (Xm) = 15 см = 0.15 м
• Период (T) = 0.4 с
• Частота (ν) = 1 / T = 1 / 0.4 = 2.5 Гц
• Круговая частота (ω) = 2πν = 2 * 3.14 * 2.5 = 15.7 рад/с
• Аналитическое выражение x(t) = Xm * cos(ωt) = 0.15 * cos(15.7t) м
• Скорость в начальный момент времени = 0 (т.к. в начальный момент времени координата максимальна)

• По графику в):

• Амплитуда (Xm) = 40 мм = 0.04 м
• Период (T) = 8 с
• Частота (ν) = 1 / T = 1 / 8 = 0.125 Гц
• Круговая частота (ω) = 2πν = 2 * 3.14 * 0.125 = 0.785 рад/с
• Аналитическое выражение x(t) = Xm * cos(ωt) = 0.04 * cos(0.785t) м
• Скорость в начальный момент времени = 0 (т.к. в начальный момент времени координата максимальна)

• По графику г):

• Амплитуда (Xm) = 8 см = 0.08 м
• Период (T) = 10 с
• Частота (ν) = 1 / T = 1 / 10 = 0.1 Гц
• Круговая частота (ω) = 2πν = 2 * 3.14 * 0.1 = 0.628 рад/с
• Аналитическое выражение x(t) = Xm * cos(ωt) = 0.08 * cos(0.628t) м
• Скорость в начальный момент времени = 0 (т.к. в начальный момент времени координата максимальна)

Ответ: Решение выше