Тело движется вдоль оси Ox. По приведённым на рисунках зависимостям проекции скорости тела от времени v_x(t) постройте графики зависимостей от времени для: координаты x(t), пройденного пути s(t), средней путевой скорости v_ср(t); и зависимости от координаты для: модуля скорости тела v(x) и средней путевой скорости v_ср(x). Примечание: считайте, что координата начальной точки x_0=0. а) v_x=10 см/с при 0≤t≤2 с, затем v_x=0 при 2≤t≤5 с; б) v_x=10 м/с при 0≤t≤4 ч, затем v_x=0 при 4≤t≤7 ч, затем v_x=−10 м/с при 7≤t≤10 ч; в) v_x возрастает от 0 до 40 м/с линейно за 10 с, затем v_x=20 м/с при 10≤t≤25 с.

Используем зависимости: \(x(t)=\int v_x(t)\,dt\), \(s(t)=\int |v_x(t)|\,dt\), \(v_{\text{ср}}(t)=s(t)/t\), \(v(x)=|v_x|\), \(v_{\text{ср}}(x)=s/x\).

а) Для \(0\le t\le2\) с: \(x=10t\) см, \(s=10t\) см, \(v_{\text{ср}}=10\) см/с. Для \(2\le t\le5\) с: \(x=20\) см, \(s=20\) см, \(v_{\text{ср}}=20/t\) см/с. Следовательно, \(v(x)=10\) см/с при \(0\le x\le20\) см; при \(x=20\) см тело покоится. \(v_{\text{ср}}(x)=10\) см/с при \(0

б) Для \(0\le t\le4\) ч: \(x=10t\) м, \(s=10t\) м, \(v_{\text{ср}}=10\) м/с. Для \(4\le t\le7\) ч: \(x=40\) м, \(s=40\) м, \(v_{\text{ср}}=40/t\) м/с. Для \(7\le t\le10\) ч: \(x=110-10t\) м, \(s=10t-30\) м, \(v_{\text{ср}}=(10t-30)/t=10-30/t\) м/с. Координаты: \(x(0)=0\), \(x(4)=40\) м, \(x(7)=40\) м, \(x(10)=10\) м. Путь: \(s(0)=0\), \(s(4)=40\) м, \(s(7)=40\) м, \(s(10)=70\) м. График \(v(x)\): \(10\) м/с на отрезке \(0\le x\le40\) м и \(10\) м/с на отрезке \(10\le x\le40\) м; в точке \(x=40\) м тело покоится на интервале времени. Для \(v_{\text{ср}}(x)\): при движении вперёд \(v_{\text{ср}}=10\) м/с; при обратном движении \(s=70-x\), поэтому \(v_{\text{ср}}=(70-x)/x\) м/с для \(10\le x<40\) м.

в) Для \(0\le t\le10\) с: \(v_x=4t\) м/с, \(x=2t^2\) м, \(s=2t^2\) м, \(v_{\text{ср}}=2t\) м/с. Для \(10\le t\le25\) с: \(x=200+20(t-10)=20t200\) м, \(s=200+20(t-10)=20t\u0000200\) м, \(v_{\text{ср}}=(20t-200)/t=20-200/t\) м/с. В момент \(t=10\) с: \(x=s=200\) м. График \(v(x)\): при \(0\le x\le200\) м \(v=4t=4\sqrt{x/2}=2\sqrt{2x}\) м/с; при \(200\le x\le300\) м \(v=20\) м/с. График \(v_{\text{ср}}(x)\): при \(x>0\), \(0

Ответ: координата и путь находятся интегрированием соответственно \(v_x\) и \(|v_x|\); полученные кусочные зависимости задают требуемые графики.