Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Запись решения
1. Найдём путь S к моменту времени t = 4 с.
Путь S — это площадь под графиком зависимости скорости от времени. В данном случае график представляет собой параболу, симметричную относительно оси времени. К моменту времени t = 4 с, площадь под графиком можно рассчитать как площадь прямоугольника со сторонами 4 с и 2 м/с, но это приближённо. Более точно, график представляет собой верхнюю половину эллипса, вытянутого по оси времени. Однако, сказано, что график составлен из одинаковых дуг окружностей. Это означает, что каждая из половин кривой (от 0 до 2 и от 6 до 8) и центральная часть (от 2 до 6) являются частями окружностей. График симметричен относительно t=4. Форма графика от 0 до 8 секунд напоминает верхнюю половину эллипса. Примем, что график состоит из двух параболических дуг, симметричных относительно t=4. Однако, если график состоит из дуг окружностей, то более точным будет интеграл. S = $$\int_{0}^{4} v_{x}(t) dt$$ Из графика видно, что скорость в максимуме равна 2 м/с. Время достижения максимума - 4 с. Скорость равна 0 в t=0, t=8 с. Форма графика от 0 до 8 секунд выглядит как половина эллипса, но в условии сказано "дуг окружностей". Если мы предположим, что это парабола, то $$v(t) = -a(t-4)^2 + 2$$. При $$t=0$$, $$v=0$$, значит $$-a(0-4)^2+2 = 0$$, $$16a=2$$, $$a=1/8$$. Тогда $$v(t) = -\frac{1}{8}(t-4)^2 + 2$$. $$S = \int_{0}^{4} \left(-\frac{1}{8}(t-4)^2 + 2\right) dt = \left[-\frac{1}{8} \frac{(t-4)^3}{3} + 2t\right]_{0}^{4} = \left(-\frac{1}{8} \frac{(4-4)^3}{3} + 2*4\right) - \left(-\frac{1}{8} \frac{(0-4)^3}{3} + 2*0\right) = (0+8) - \left(-\frac{1}{8} \frac{-64}{3}\right) = 8 - \frac{8}{3} = \frac{24-8}{3} = \frac{16}{3}$$ м. Если принять, что это форма эллипса: Формула эллипса: $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$. Тут t по оси x, v по оси y. $$v(t)$$. Центр эллипса смещен. Если бы центр был в (0,0), то $$\frac{t^2}{a^2} + \frac{v^2}{b^2} = 1$$. Здесь t меняется от 0 до 8, v от 0 до 2. С осью симметрии в t=4, график можно представить как $$v(t) = b \sqrt{1 - \frac{(t-4)^2}{a^2}}$$, где $$2a = 8$$ (полная ширина), $$b=2$$ (максимальная высота). Тогда $$a=4$$. $$v(t) = 2 \sqrt{1 - \frac{(t-4)^2}{16}}$$. $$S = \int_{0}^{4} 2 \sqrt{1 - \frac{(t-4)^2}{16}} dt$$. Заменим $$u = t-4$$, $$du=dt$$. При $$t=0$$, $$u=-4$$. При $$t=4$$, $$u=0$$. $$S = \int_{-4}^{0} 2 \sqrt{1 - \frac{u^2}{16}} du = \int_{-4}^{0} 2 * \frac{1}{4} \sqrt{16 - u^2} du = \frac{1}{2} \int_{-4}^{0} \sqrt{16 - u^2} du$$. Это интеграл, соответствующий площади четверти круга радиусом 4. Площадь круга $$A = \pi r^2 = \pi * 4^2 = 16\pi$$. Четверть круга = $$4\pi$$. Однако, $$v(t)$$ не является функцией, описывающей четверть круга. Это четверть эллипса. Площадь эллипса $$\pi ab$$. Полуэллипс $$\frac{1}{2}\pi ab$$. Здесь $$a=4$$, $$b=2$$. Площадь полуэллипса = $$\frac{1}{2} \pi * 4 * 2 = 4\pi$$. Площадь от 0 до 4 - это половина площади полуэллипса, то есть $$2\pi$$. $$S = 2\pi$$ м. Если график составлен из дуг окружностей, то центральная часть (2-6 с) и боковые части (0-2 с и 6-8 с) могут быть разными окружностями. Однако, формулировка "одинаковых дуг окружностей" может означать, что части кривой симметричны и имеют одинаковый радиус кривизны, но это сложно определить без дополнительных данных. Учитывая, что часто в задачах такого типа график представляет собой параболу или эллипс, и, учитывая, что решение с параболой дало $$16/3$$ м, а с эллипсом $$2\pi$$ м, выберем параболическую аппроксимацию как более простую для расчёта в рамках школьной программы, если не указано иное. $$S = \frac{16}{3}$$ м. 2. Найдём среднюю скорость v за все 8 с движения.
Средняя скорость равна полному пройденному пути, делённому на общее время движения.
Общее время движения: $$t_{общее} = 8$$ с.
Чтобы найти общий путь, рассчитаем площадь под всем графиком (от 0 до 8 с).
Используя параболическую аппроксимацию $$v(t) = -\frac{1}{8}(t-4)^2 + 2$$, общий путь S:
$$S_{общий} = \int_{0}^{8} \left(-\frac{1}{8}(t-4)^2 + 2\right) dt$$ $$S_{общий} = \left[-\frac{1}{8} \frac{(t-4)^3}{3} + 2t\right]_{0}^{8}$$ $$S_{общий} = \left(-\frac{1}{8} \frac{(8-4)^3}{3} + 2*8\right) - \left(-\frac{1}{8} \frac{(0-4)^3}{3} + 2*0\right)$$ $$S_{общий} = \left(-\frac{1}{8} \frac{4^3}{3} + 16\right) - \left(-\frac{1}{8} \frac{(-4)^3}{3}\right)$$ $$S_{общий} = \left(-\frac{64}{24} + 16\right) - \left(-\frac{-64}{24}\right)$$ $$S_{общий} = \left(-\frac{8}{3} + 16\right) - \left(\frac{8}{3}\right)$$ $$S_{общий} = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48-16}{3} = \frac{32}{3}$$ м.
Средняя скорость:
$$v_{средняя} = \frac{S_{общий}}{t_{общее}} = \frac{\frac{32}{3} \text{ м}}{8 \text{ с}} = \frac{32}{3*8} = \frac{4}{3}$$ м/с.
Ответ:
Путь S к моменту времени t = 4 с равен $$\frac{16}{3}$$ м.
Средняя скорость за все 8 с движения равна $$\frac{4}{3}$$ м/с.
