Теңдеуді шешіңіз. |x² - 12x + 41| = | - 5x + 31|

Задача: Решить уравнение

• \[ |x^2 - 12x + 41| = |-5x + 31| \]

Решение:

Данное уравнение является уравнением с модулями. Нам нужно рассмотреть два случая, так как выражение под модулем может быть как положительным, так и отрицательным.

Случай 1: Выражения под модулями имеют одинаковые знаки.

• \[ x^2 - 12x + 41 = -5x + 31 \]
• Перенесем все члены в одну сторону:
• \[ x^2 - 12x + 5x + 41 - 31 = 0 \]
• \[ x^2 - 7x + 10 = 0 \]
• Решим квадратное уравнение. Дискриминант $$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 imes 1 imes 10 = 49 - 40 = 9$$.
• $$x_1 = rac{-b + \sqrt{D}}{2a} = rac{7 + 3}{2 imes 1} = rac{10}{2} = 5$$.
• $$x_2 = rac{-b - \sqrt{D}}{2a} = rac{7 - 3}{2 imes 1} = rac{4}{2} = 2$$.

Случай 2: Выражения под модулями имеют разные знаки.

• \[ x^2 - 12x + 41 = -(-5x + 31) \]
• \[ x^2 - 12x + 41 = 5x - 31 \]
• Перенесем все члены в одну сторону:
• \[ x^2 - 12x - 5x + 41 + 31 = 0 \]
• \[ x^2 - 17x + 72 = 0 \]
• Решим квадратное уравнение. Дискриминант $$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 imes 1 imes 72 = 289 - 288 = 1$$.
• $$x_3 = rac{-b + \sqrt{D}}{2a} = rac{17 + 1}{2 imes 1} = rac{18}{2} = 9$$.
• $$x_4 = rac{-b - \sqrt{D}}{2a} = rac{17 - 1}{2 imes 1} = rac{16}{2} = 8$$.

Проверка:

• При $$x=5$$: $$|5^2 - 12 imes 5 + 41| = |25 - 60 + 41| = |6| = 6$$. $$|-5 imes 5 + 31| = |-25 + 31| = |6| = 6$$. (Верно)
• При $$x=2$$: $$|2^2 - 12 imes 2 + 41| = |4 - 24 + 41| = |21| = 21$$. $$|-5 imes 2 + 31| = |-10 + 31| = |21| = 21$$. (Верно)
• При $$x=9$$: $$|9^2 - 12 imes 9 + 41| = |81 - 108 + 41| = |14| = 14$$. $$|-5 imes 9 + 31| = |-45 + 31| = |-14| = 14$$. (Верно)
• При $$x=8$$: $$|8^2 - 12 imes 8 + 41| = |64 - 96 + 41| = |9| = 9$$. $$|-5 imes 8 + 31| = |-40 + 31| = |-9| = 9$$. (Верно)

Ответ: $$x = 2, 5, 8, 9$$