Теңдеуді шешіңіз. 2x^2 – 5|x| + 2 = 0

Задание:

Решить уравнение: 2x^2 – 5|x| + 2 = 0

Решение:

Это уравнение содержит абсолютное значение |x|. Для удобства решения, сделаем замену:

Пусть y = |x|. Так как |x| всегда неотрицательно, то y ≥ 0.

Учитывая, что x^2 = |x|^2, исходное уравнение преобразуется в:

2y^2 – 5y + 2 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно y. Решим его с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

Здесь a = 2, b = -5, c = 2.

D = (-5)^2 - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 9

Так как D > 0, у квадратного уравнения два корня:

y1 = (-b + √D) / (2a) = (5 + √9) / (2 * 2) = (5 + 3) / 4 = 8 / 4 = 2

y2 = (-b - √D) / (2a) = (5 - √9) / (2 * 2) = (5 - 3) / 4 = 2 / 4 = 1/2

Оба корня y1 = 2 и y2 = 1/2 неотрицательны, что удовлетворяет условию y ≥ 0.

Теперь вернемся к замене y = |x|:

1. Для y1 = 2:
   |x| = 2
   Это означает, что x может быть равен 2 или -2.
2. Для y2 = 1/2:
   |x| = 1/2
   Это означает, что x может быть равен 1/2 или -1/2.

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ:
x = 2, x = -2, x = 1/2, x = -1/2