9. Tan 9 № 7325 В параллелограмме АВСD диагональ АС в 2 раза больше сторона АВ и ZACD-21°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 126

1. Обозначим сторону AB как x, тогда диагональ AC равна 2x.
2. В параллелограмме противоположные стороны равны, значит, CD = AB = x.
3. Рассмотрим треугольник ACD. В этом треугольнике AC = 2x, CD = x.
4. По условию ∠ACD = 21°.
5. Применим теорему синусов к треугольнику ACD: \[\frac{CD}{\sin{\angle CAD}} = \frac{AC}{\sin{\angle ADC}}\] \[\frac{x}{\sin{\angle CAD}} = \frac{2x}{\sin{\angle ADC}}\] \[\frac{1}{\sin{\angle CAD}} = \frac{2}{\sin{\angle ADC}}\] \[\sin{\angle ADC} = 2\sin{\angle CAD}\]
6. В параллелограмме углы прилежащие к одной стороне в сумме дают 180°. Значит, ∠ADC + ∠BCD = 180°.
7. ∠BCD = ∠ACD + ∠ACB, значит, ∠BCD = 21° + ∠ACB.
8. ∠ADC = 180° - ∠BCD = 180° - (21° + ∠ACB).
9. В треугольнике ABC, AB = x, AC = 2x. Пусть ∠BAC = α. Тогда по теореме синусов: \[\frac{AB}{\sin{\angle ACB}} = \frac{AC}{\sin{\angle ABC}}\] \[\frac{x}{\sin{\angle ACB}} = \frac{2x}{\sin{\angle ABC}}\] \[\frac{1}{\sin{\angle ACB}} = \frac{2}{\sin{\angle ABC}}\] \[\sin{\angle ABC} = 2\sin{\angle ACB}\]
10. Так как ∠ABC = ∠ADC (противоположные углы параллелограмма), то ∠ABC = 180° - (21° + ∠ACB).
11. Пусть ∠ACB = γ. Тогда sin(180° - (21° + γ)) = 2sin(γ).
12. sin(180° - x) = sin(x), значит, sin(21° + γ) = 2sin(γ).
13. sin(21°)cos(γ) + cos(21°)sin(γ) = 2sin(γ).
14. sin(21°)cos(γ) = (2 - cos(21°))sin(γ).
15. tg(γ) = sin(21°) / (2 - cos(21°)).
16. γ = arctg(sin(21°) / (2 - cos(21°))).
17. γ ≈ arctg(0.358 / (2 - 0.934)) ≈ arctg(0.358 / 1.066) ≈ arctg(0.336) ≈ 18.5°.
18. ∠ACB ≈ 18.5°.
19. ∠BCD = 21° + 18.5° = 39.5°.
20. ∠ADC = 180° - 39.5° = 140.5°.
21. ∠CAD = arcsin(0.5 * sin(140.5°)) ≈ arcsin(0.5 * 0.636) ≈ arcsin(0.318) ≈ 18.5°.
22. Рассмотрим треугольник, образованный диагоналями. Пусть точка пересечения диагоналей - O.
23. ∠AOD = 180° - (∠OAD + ∠ODA).
24. ∠OAD = ∠CAD ≈ 18.5°.
25. ∠ODA = ∠ADB. ∠ADB = ∠CBD (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей BD).
26. ∠CBD = ∠ABC - ∠ABD. ∠ABC = 140.5°.
27. ∠ABD = ∠CDB. ∠CDB = ∠CDA - ∠BDA.
28. ∠CDA = 140.5°. ∠BDA = ∠BCA = 18.5°.
29. ∠CDB = 140.5° - 18.5° = 122°.
30. ∠ABD = 18.5°.
31. ∠AOD = 180° - (18.5° + 18.5°) = 180° - 37° = 143°.
32. Меньший угол между диагоналями: 180° - 143° = 37°.

Ответ: 37