Так как lim n→∞ √n = ___, то lim n→∞ (√n)^k = ___. И отсюда lim n→∞ n√an = ___, поэтому по признаку Коши исходный ряд ____.

Решение:

Для решения данного задания необходимо вспомнить свойства пределов и признак Коши для сходимости ряда.

1. Первое равенство: \( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} \). Этот предел является стандартным и равен 1.
2. Второе равенство: \( \lim_{n \to \infty} (\sqrt[n]{n})^k \). Используя свойство пределов \( \lim (a_n^k) = (\lim a_n)^k \), получаем \( (\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n})^k = 1^k = 1 \).
3. Третье равенство: \( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} \). Здесь \( a_n = n \) из предыдущих шагов. Следовательно, \( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 \).
4. Признак Коши: Если \( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L \), то ряд \( \sum a_n \) сходится, если \( L < 1 \), и расходится, если \( L > 1 \). В нашем случае \( L = 1 \), поэтому признак Коши в данной форме не даёт ответа о сходимости или расходимости ряда. Однако, если условие подразумевает, что \(
   \sqrt[n]{n}
   \) является членом последовательности, то этот предел равен 1.

Ответ: 1, 1, 1, не даёт ответа (или другой вариант в зависимости от контекста задания, если "исходный ряд" относится к конкретной последовательности, не указанной здесь).