ТҮЗУЛЕРДІҢ ПАРАЛЛЕЛЬДІК БЕЛГІЛЕРІ 3.47. ВР және АС кесінділерінің орталары, СQ және АВ кесінділерінің орталары беттесетіндей етіп, ДАВС мен Р және Q нүктелері берілген. А, P, Q нүктелері бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңдер. ВС деп алып, PQ кесіндісінің ұзындығын табыңдар. 3.48. PT = PQR үшбұрышының биссектрисасы. РТ-нің ор- тасы арқылы өтетін оған перпендикуляр түзу PQ және PR қабырғаларын сәйкесінше А және В нүкте- лерінде қиып өтеді. АР = 4 см. АТ кесіндісінің ұзын- дығын табыңдар. 3.49. Тікбұрышты үшбұрыштың екі биссектрисасы 40° бұрыш жасап қиылысуы мүмкін бе? Жауаптарыңды негіздеңдер.

3.47

Для доказательства того, что точки A, P, Q лежат на одной прямой, можно использовать теорему Менелая или свойства параллельных прямых и медиан треугольника. Так как P и Q — середины AC и AB соответственно, PQ является средней линией треугольника ABC. Следовательно, PQ || BC. Если доказать, что точка A, P, Q лежат на одной прямой, то задача решена.

Дано BC = 3 см. Так как PQ - средняя линия треугольника ABC, то длина PQ равна половине длины BC.

\[PQ = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1.5 \text{ см}.\]

3.48

Пусть PT — биссектриса треугольника PQR, и прямая, перпендикулярная PT, пересекает PQ в точке A и PR в точке B. Дано AP = 4 см. Так как прямая AB перпендикулярна биссектрисе PT, треугольник APB является равнобедренным с AP = PB.

Следовательно, PB = AP = 4 см. Так как PT — биссектриса и высота в треугольнике APB, то треугольник APB равнобедренный, и AT является медианой. Значит, AT = AP = 4 см.

3.49

Предположим, что в прямоугольном треугольнике две биссектрисы пересекаются под углом 40°. Пусть один из углов прямоугольного треугольника равен α, тогда другой угол равен 90° - α. Биссектрисы этих углов равны α/2 и (90° - α)/2. Сумма углов треугольника, образованного пересечением биссектрис и стороной, равна 180°. Тогда получим уравнение:

\[\frac{\alpha}{2} + \frac{90^\circ - \alpha}{2} + 40^\circ = 180^\circ\]

\[45^\circ + 40^\circ = 180^\circ\]

\[85^\circ = 180^\circ\]

Это невозможно, следовательно, две биссектрисы прямоугольного треугольника не могут пересекаться под углом 40°.