Существует ... обыкновенных правильных несократимых дробей со знаменателем 18

Решение:

Несократимая правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя, и числитель с знаменателем не имеют общих делителей, кроме 1. Знаменатель равен 18.

Нам нужно найти количество натуральных чисел \( n \), таких что \( 1 ≤ n < 18 \) и \( \text{НОД}(n, 18) = 1 \).

Число 18 имеет следующие делители: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Числа \( n \), которые не взаимно просты с 18, это те, которые делятся на 2 или на 3.

Перечислим числа от 1 до 17, которые взаимно просты с 18:

• 1 (НОД(1, 18) = 1)
• 5 (НОД(5, 18) = 1)
• 7 (НОД(7, 18) = 1)
• 11 (НОД(11, 18) = 1)
• 13 (НОД(13, 18) = 1)
• 17 (НОД(17, 18) = 1)

Всего таких чисел 6.

Это значение соответствует функции Эйлера \( φ(18) \).

\( φ(18) = 18 \left(1 - \frac{1}{2}\right) \left(1 - \frac{1}{3}\right) = 18 · \frac{1}{2} · \frac{2}{3} = 6 \).

Таким образом, существует 6 обыкновенных правильных несократимых дробей со знаменателем 18.

Ответ: 6