124 Существует ли граф, в котором 5 вершин, и они имеют степени 1, 2, 2, Изобразите такой граф или объясните, почему это невозможно.

По теореме о сумме степеней, сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному числу ребер. В данном случае, сумма степеней равна $$1 + 2 + 2 + x + y$$, где $$x$$ и $$y$$ - степени двух других вершин графа. Эта сумма должна быть четной.

Для существования графа с 5 вершинами степеней 1, 2, 2 необходимо, чтобы степени оставшихся двух вершин были такими, чтобы общая сумма была четной. Например, это могут быть вершины степени 2 и 3, тогда сумма степеней будет $$1 + 2 + 2 + 2 + 3 = 10$$, что является четным числом.

Нарисуем граф с 5 вершинами A, B, C, D, E, имеющими степени 1, 2, 2, 2, 3 соответственно.

      A
      |
      B
     / \
    C   D
   / \
  E   |
      |

Вершина A имеет степень 1 (соединена с B). Вершина B имеет степень 2 (соединена с A и C). Вершина C имеет степень 2 (соединена с B и E). Вершина D имеет степень 2 (соединена с E). Вершина E имеет степень 3 (соединена с C и D).

Ответ: Да, такой граф существует. Пример графа выше.