611. Сумма трёх положительных чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 15. Найдите эти числа, если известно, что, увеличив первое и второе числа на 1, а третье на 4, мы получим геометрическую прогрессию.

1. Шаг 1: Обозначения и первое уравнение

   Пусть числа арифметической прогрессии будут a - d, a, a + d. Их сумма равна 15:

   \[(a - d) + a + (a + d) = 15\]

   Упростим уравнение:

   \[3a = 15\]

   Отсюда:

   \[a = 5\]

2. Шаг 2: Числа геометрической прогрессии

   После изменений числа станут a - d + 1, a + 1, a + d + 4, то есть 6 - d, 6, 9 + d. Для геометрической прогрессии выполняется условие:

   \[\frac{6}{6-d} = \frac{9+d}{6}\]

3. Шаг 3: Решение уравнения для геометрической прогрессии

   Преобразуем уравнение:

   \[36 = (6 - d)(9 + d)\] \[36 = 54 + 6d - 9d - d^2\] \[d^2 + 3d - 18 = 0\]

4. Шаг 4: Находим дискриминант и корни квадратного уравнения

   Дискриминант:

   \[D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81\]

   Корни:

   \[d_1 = \frac{-3 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-3 + 9}{2} = 3\] \[d_2 = \frac{-3 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-3 - 9}{2} = -6\]

5. Шаг 5: Находим числа для каждого значения d

   Если d = 3, то числа арифметической прогрессии: 2, 5, 8.

   Если d = -6, то числа арифметической прогрессии: 11, 5, -1. Но по условию все числа положительные, этот вариант не подходит.

Ответ: 2, 5, 8