610. Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 21. Найдите эти числа, если известно, что, уменьшив второе из них на 1 и увеличив третье на 1, мы получим геометрическую прогрессию.

1. Шаг 1: Обозначения и первое уравнение

   Пусть числа арифметической прогрессии будут a - d, a, a + d. Тогда их сумма равна 21:

   \[(a - d) + a + (a + d) = 21\]

   Упростим уравнение:

   \[3a = 21\]

   Отсюда:

   \[a = 7\]

2. Шаг 2: Числа геометрической прогрессии

   После изменений числа станут a - d, a - 1, a + d + 1, то есть 7 - d, 6, 8 + d. Для геометрической прогрессии выполняется условие:

   \[\frac{6}{7-d} = \frac{8+d}{6}\]

3. Шаг 3: Решение уравнения для геометрической прогрессии

   Преобразуем уравнение:

   \[36 = (7 - d)(8 + d)\] \[36 = 56 + 7d - 8d - d^2\] \[d^2 + d - 20 = 0\]

4. Шаг 4: Находим дискриминант и корни квадратного уравнения

   Дискриминант:

   \[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81\]

   Корни:

   \[d_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 + 9}{2} = 4\] \[d_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 - 9}{2} = -5\]

5. Шаг 5: Находим числа для каждого значения d

   Если d = 4, то числа арифметической прогрессии: 3, 7, 11.

   Если d = -5, то числа арифметической прогрессии: 12, 7, 2.

Ответ: 3, 7, 11 или 12, 7, 2