Ступенчатый вал круглого поперечного сечения скручивается моментами М. Если наибольшее касательное напряжение на первом участке равно т_тах, то наибольшее касательное напряжение на втором участке равно ...

Решение:

Напряжение сдвига \( \tau \) в валу, скручиваемом моментом \( M \), определяется формулой:

\[ \tau = \frac{M \cdot r}{J_p} \]

где:

• \( M \) — крутящий момент;
• \( r \) — расстояние от оси вала до точки, в которой ищется напряжение;
• \( J_p \) — полярный момент инерции поперечного сечения.

Для круглого сечения радиусом \( R \) (диаметром \( d = 2R \)) полярный момент инерции равен:

\[ J_p = \frac{\pi R^4}{2} = \frac{\pi (d/2)^4}{2} = \frac{\pi d^4}{32} \]

Максимальное касательное напряжение \( \tau_{max} \) возникает на внешней поверхности вала, где \( r = R = d/2 \).

Для первого участка (диаметр \( d \)):

\[ \tau_{max1} = \frac{M \cdot (d/2)}{\frac{\pi d^4}{32}} = \frac{16 M}{\pi d^3} \]

По условию \( \tau_{max1} = \tau_{max} \).

Для второго участка (диаметр \( 2d \)):

\[ \tau_{max2} = \frac{M \cdot ((2d)/2)}{\frac{\pi (2d)^4}{32}} = \frac{M \cdot d}{\frac{\pi 16d^4}{32}} = \frac{32 M d}{16 \pi d^4} = \frac{2 M}{\pi d^3} \]

Сравним \( \tau_{max2} \) с \( \tau_{max1} \):

\[ \frac{\tau_{max2}}{\tau_{max1}} = \frac{\frac{2 M}{\pi d^3}}{\frac{16 M}{\pi d^3}} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8} \]

Следовательно, \( \tau_{max2} = \frac{1}{8} \tau_{max1} = \frac{\tau_{max}}{8} \).

Ответ: \( \tau_{max}/8 \).