Студенты института изучают в каждом семестре по десять дисциплин. В расписание занятий включаются каждый день по 3 дисциплины. Сколько различных расписаний может составить диспетчерская?

Привет! Давай разберемся с этой задачей по комбинаторике.

Условие:

• В семестре 10 дисциплин.
• Каждый день нужно выбрать 3 дисциплины.
• Порядок выбора дисциплин в расписании не важен (например, "Математика, Физика, История" — это то же самое расписание, что и "Физика, История, Математика").

Что нужно найти:

Сколько всего уникальных комбинаций из 3 дисциплин можно составить из 10 доступных.

Решение:

Эта задача решается с помощью формулы сочетаний, потому что порядок выбора дисциплин не имеет значения. Формула сочетаний выглядит так:

\[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Где:

• n — общее количество элементов (в нашем случае — 10 дисциплин).
• k — количество элементов, которые мы выбираем (в нашем случае — 3 дисциплины).
• ! — знак факториала (например, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1).

Подставим наши значения в формулу:

\[ C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} \]

Теперь посчитаем факториалы:

• 10! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 3,628,800
• 3! = 3 × 2 × 1 = 6
• 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5,040

Подставляем обратно в формулу:

\[ C_{10}^3 = \frac{3,628,800}{6 \times 5,040} = \frac{3,628,800}{30,240} \]

Выполняем деление:

\[ C_{10}^3 = 120 \]

Или можно проще, сокращая:

\[ C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{3 \times 2 \times 1 \times 7!} \]

Сокращаем 7!:

\[ C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} \]

Считаем:

\[ C_{10}^3 = \frac{720}{6} = 120 \]

Ответ: Диспетчерская может составить 120 различных расписаний.