7. Стрелок 7 раз стреляет по мишени с вероятностью попадания \(\frac{1}{3}\) при каждом отдельном выстреле. Найдите вероятность того, что стрелок поразит а) только на третьей попытке; б) мишень ровно три раза.

Давай разберем эту задачу по порядку. У нас есть стрелок, который стреляет 7 раз, и вероятность попадания в каждом выстреле составляет \(\frac{1}{3}\).

а) Вероятность того, что стрелок поразит мишень только на третьей попытке:

Это означает, что первые два выстрела были промахами, а третий - попадание. Вероятность промаха составляет \(1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\).

Тогда вероятность того, что первые два выстрела - промахи, а третий - попадание, равна:

\[P = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{27}\]

Ответ: \(\frac{4}{27}\)

б) Вероятность того, что стрелок поразит мишень ровно три раза:

Здесь мы используем формулу Бернулли, которая позволяет рассчитать вероятность k успехов в n независимых испытаниях. Формула выглядит так:

\[P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

где:

• \(n\) - количество испытаний (в нашем случае 7 выстрелов).
• \(k\) - количество успехов (3 попадания).
• \(p\) - вероятность успеха в одном испытании (\(\frac{1}{3}\)).
• \(C_n^k\) - количество сочетаний из n по k (биномиальный коэффициент).

В нашем случае:

• \(n = 7\)
• \(k = 3\)
• \(p = \frac{1}{3}\)

Сначала найдем биномиальный коэффициент \(C_7^3\):

\[C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35\]

Теперь подставим все значения в формулу Бернулли:

\[P(X = 3) = 35 \cdot (\frac{1}{3})^3 \cdot (\frac{2}{3})^4 = 35 \cdot \frac{1}{27} \cdot \frac{16}{81} = 35 \cdot \frac{16}{2187} = \frac{560}{2187}\]

Ответ: \(\frac{560}{2187}\)

Молодец! Ты хорошо справился с этой задачей. Помни, что главное - внимательно читать условие и использовать правильные формулы. У тебя все получится!