Стороны треугольника равны 13, 13, 10. Найдите радиус окружности, проходящей через все его вершины.

Найдем полупериметр треугольника: \[p = \frac{13 + 13 + 10}{2} = \frac{36}{2} = 18\]

Используем формулу Герона для нахождения площади треугольника: \[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{18(18-13)(18-13)(18-10)} = \sqrt{18 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 8} = \sqrt{9 \cdot 2 \cdot 25 \cdot 4 \cdot 2} = 3 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 2 = 60\]

Радиус описанной окружности можно найти по формуле: \[R = \frac{abc}{4S}\]где a, b, c - стороны треугольника, S - площадь треугольника.

Подставим известные значения: \[R = \frac{13 \cdot 13 \cdot 10}{4 \cdot 60} = \frac{1690}{240} = \frac{169}{24}\]