Стороны АВ и АС треугольника АВС равны 17. Найди длину биссектрисы угла А треугольника АВС, если медиана, проведённая к стороне ВС равна 8. Запиши в поле ответа верное число.

Обозначим треугольник ABC, где AB = AC = 17, медиана AM = 8. Пусть биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке L. Нам нужно найти длину AL.

Так как AM - медиана, то BM = MC. Обозначим BM = MC = x.

Рассмотрим треугольник ABM. По теореме косинусов для треугольника ABM:

$$AB^2 = AM^2 + BM^2 - 2 cdot AM cdot BM cdot \cos(\angle AMB)$$ $$17^2 = 8^2 + x^2 - 2 cdot 8 cdot x cdot \cos(\angle AMB)$$ $$289 = 64 + x^2 - 16x \cos(\angle AMB)$$

Рассмотрим треугольник AMC. По теореме косинусов для треугольника AMC:

$$AC^2 = AM^2 + MC^2 - 2 cdot AM cdot MC cdot \cos(\angle AMC)$$

Так как \(\angle AMB\) и \(\angle AMC\) смежные, то \(\cos(\angle AMC) = -\cos(\angle AMB)\). Следовательно:

$$17^2 = 8^2 + x^2 + 2 cdot 8 cdot x cdot \cos(\angle AMB)$$ $$289 = 64 + x^2 + 16x \cos(\angle AMB)$$

Сложим два уравнения:

$$289 + 289 = 64 + x^2 - 16x \cos(\angle AMB) + 64 + x^2 + 16x \cos(\angle AMB)$$ $$578 = 128 + 2x^2$$ $$2x^2 = 450$$ $$x^2 = 225$$ $$x = 15$$

Таким образом, BC = 2x = 30.

Теперь применим формулу для длины биссектрисы в треугольнике ABC:

$$AL = \frac{2 cdot AB cdot AC cdot \cos(\frac{A}{2})}{AB + AC}$$

Также можно использовать формулу:

$$AL^2 = AB cdot AC - BL cdot LC$$

Так как AL - биссектриса, то по свойству биссектрисы:

$$\frac{BL}{AB} = \frac{LC}{AC}$$

Значит, \(\frac{BL}{17} = \frac{LC}{17}\), следовательно BL = LC. Так как BC = 30, то BL = LC = 15.

Тогда:

$$AL^2 = 17 cdot 17 - 15 cdot 15$$ $$AL^2 = 289 - 225$$ $$AL^2 = 64$$ $$AL = \sqrt{64} = 8$$

Ответ: 8