Стороны AD и BC треугольников ABC и ABD пересекаются в точке E, причём AC = BD, ∠BAC = ∠ABD. Докажите, что треугольники ACE и BDE равны.

Рассмотрим треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle BAD\).

По условию \(AC=BD\), \(AB\) — общая сторона, а \(\angle BAC=\angle ABD\). Следовательно, \(\triangle ABC=\triangle BAD\) по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников получаем \(\angle ACB=\angle BDA\). Так как точки \(A,E,D\) лежат на одной прямой, а точки \(B,E,C\) — на одной прямой, то \(\angle ACE=\angle ACB\) и \(\angle BDE=\angle BDA\). Поэтому \(\angle ACE=\angle BDE\).

Кроме того, \(\angle AEC=\angle BED\) как вертикальные углы.

Итак, в треугольниках \(ACE\) и \(BDE\) равны два угла и соответствующая сторона: \(AC=BD\), \(\angle ACE=\angle BDE\), \(\angle AEC=\angle BED\). Следовательно, \(\triangle ACE=\triangle BDE\) по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Ответ: \(\triangle ACE\) и \(\triangle BDE\) равны.