Стороны AC и BC треугольника ABC равны. Луч CM является биссектрисой внешнего угла BCD, угол MCD равен 53°. Найдите угол BAC. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Дано, что \( AC = BC \). Это означает, что треугольник \( ABC \) — равнобедренный. Углы при основании \( AC \) и \( BC \) равны, то есть \( \angle BAC = \angle ABC \).

Луч \( CM \) является биссектрисой внешнего угла \( BCD \). Угол \( MCD = 53^{\circ} \).

Поскольку \( CM \) — биссектриса внешнего угла \( BCD \), то \( \angle BCM = \angle MCD = 53^{\circ} \).

Внешний угол \( BCD \) равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним: \( \angle BCD = \angle BAC + \angle ABC \).

Угол \( BCD = \angle BCM + \angle MCD = 53^{\circ} + 53^{\circ} = 106^{\circ} \).

Так как \( \angle BAC = \angle ABC \), то \( \angle BCD = \angle BAC + \angle BAC = 2 \cdot \angle BAC \).

Значит, \( 106^{\circ} = 2 \cdot \angle BAC \).

Отсюда, \( \angle BAC = \frac{106^{\circ}}{2} = 53^{\circ} \).

Ответ: 53°.