Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Дано:
- △ABC
- B — середина AA₁
- C — середина BB₁
- A — середина CC₁
- Площадь △ABC = 2
Найти: Площадь △A₁B₁C₁
Решение:
Обозначим площадь треугольника ABC как S. По условию, S = 2.
Рассмотрим треугольник AA₁C. Точка B — середина AA₁, поэтому AB = BA₁. Точка C — середина BB₁, поэтому BC = CB₁.
Площадь треугольника ABC равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними:
\( S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC) \)
Теперь рассмотрим треугольник A₁BC. Так как AB = BA₁, то BC является медианой в треугольнике A₁BC. Медиана делит треугольник на два равновеликих по площади.
\( S_{\triangle A₁BC} = S_{\triangle ABC} = 2 \)
Рассмотрим треугольник A₁BB₁. Так как C — середина BB₁, то BC = CB₁. Тогда AC — медиана в треугольнике A₁BC.
\( S_{\triangle A₁CB₁} = S_{\triangle A₁CB} = 2 \)
Аналогично, рассмотрим треугольник A₁CC₁. Точка A — середина CC₁, значит CA = AC₁.
\( S_{\triangle A₁AC} = S_{\triangle A₁CA₁} \)
Если мы продлим стороны треугольника ABC, то получим, что:
\( S_{\triangle A₁BB₁} = S_{\triangle ABC} \)
\( S_{\triangle B₁CC₁} = S_{\triangle ABC} \)
\( S_{\triangle C₁AA₁} = S_{\triangle ABC} \)
Площадь большого треугольника \( \triangle A₁B₁C₁ \) складывается из площади \( \triangle ABC \) и трех прилегающих к нему треугольников \( \triangle A₁BB₁ \), \( \triangle B₁CC₁ \), \( \triangle C₁AA₁ \) и трех угловых треугольников:
\( S_{\triangle A₁B₁C₁} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle A₁BB₁} + S_{\triangle B₁CC₁} + S_{\triangle C₁AA₁} + S_{\triangle A₁BC} + S_{\triangle B₁CA} + S_{\triangle C₁AB} \)
У нас есть:
\( S_{\triangle ABC} = 2 \)
Из условия, что B — середина AA₁, C — середина BB₁, A — середина CC₁, следует:
\( AB = BA₁ \), \( BC = CB₁ \), \( CA = AC₁ \)
Рассмотрим \( \triangle A₁BC \). Так как AB = BA₁, то \( S_{\triangle A₁BC} = S_{\triangle ABC} = 2 \).
Рассмотрим \( \triangle B₁CA \). Так как BC = CB₁, то \( S_{\triangle B₁CA} = S_{\triangle ABC} = 2 \).
Рассмотрим \( \triangle C₁AB \). Так как CA = AC₁, то \( S_{\triangle C₁AB} = S_{\triangle ABC} = 2 \).
Теперь рассмотрим \( \triangle A₁BB₁ \). Основание BB₁ в два раза больше BC. Высота, опущенная из A₁ на прямую BB₁, совпадает с высотой, опущенной из A₁ на прямую BC. Так как C — середина BB₁, то BC = CB₁. \( \triangle A₁CB₁ \) и \( \triangle A₁CB \) имеют одинаковые основания и высоты, значит \( S_{\triangle A₁CB₁} = S_{\triangle A₁CB} \). \( S_{\triangle A₁CB} = S_{\triangle ABC} = 2 \). Следовательно, \( S_{\triangle A₁CB₁} = 2 \). \( S_{\triangle A₁BB₁} = S_{\triangle A₁CB₁} + S_{\triangle A₁CB} = 2 + 2 = 4 \).
Аналогично:
\( S_{\triangle B₁CC₁} = 4 \)
\( S_{\triangle C₁AA₁} = 4 \)
Площадь \( \triangle A₁B₁C₁ \) равна сумме площадей \( \triangle ABC \) и трех прилегающих к нему треугольников \( \triangle A₁BB₁ \), \( \triangle B₁CC₁ \), \( \triangle C₁AA₁ \) и трех угловых треугольников \( \triangle A₁BC \), \( \triangle B₁CA \), \( \triangle C₁AB \).
\( S_{\triangle A₁B₁C₁} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle A₁BC} + S_{\triangle B₁CA} + S_{\triangle C₁AB} + S_{\triangle A₁CB₁} + S_{\triangle B₁AC₁} + S_{\triangle C₁BA₁} \)
Это не совсем корректный подход. Попробуем проще.
Пусть \( \vec{A} \), \( \vec{B} \), \( \vec{C} \) — векторы вершин \( \triangle ABC \). Тогда площадь \( \triangle ABC \) равна \( \frac{1}{2} |(\vec{B}-\vec{A}) \times (\vec{C}-\vec{A})| \).
Из условий:
\( \vec{B} = \frac{\vec{A} + \vec{A₁}}{2} \) => \( \vec{A₁} = 2\vec{B} - \vec{A} \)
\( \vec{C} = \frac{\vec{B} + \vec{B₁}}{2} \) => \( \vec{B₁} = 2\vec{C} - \vec{B} \)
\( \vec{A} = \frac{\vec{C} + \vec{C₁}}{2} \) => \( \vec{C₁} = 2\vec{A} - \vec{C} \)
Теперь найдем векторы сторон \( \triangle A₁B₁C₁ \):
\( \vec{B₁} - \vec{A₁} = (2\vec{C} - \vec{B}) - (2\vec{B} - \vec{A}) = \vec{A} - 3\vec{B} + 2\vec{C} \)
\( \vec{C₁} - \vec{A₁} = (2\vec{A} - \vec{C}) - (2\vec{B} - \vec{A}) = 3\vec{A} - 2\vec{B} - \vec{C} \)
Площадь \( \triangle A₁B₁C₁ \) равна \( \frac{1}{2} |(\vec{B₁}-\vec{A₁}) \times (\vec{C₁}-\vec{A₁})| \)
\( (\vec{A} - 3\vec{B} + 2\vec{C}) \times (3\vec{A} - 2\vec{B} - \vec{C}) \)
= \( -\vec{A}\times\vec{C} - 6\vec{B}\times\vec{A} - 4\vec{B}\times\vec{C} - 6\vec{C}\times\vec{A} + 4\vec{C}\times\vec{B} \)
Используем свойства векторного произведения: \( \vec{u} \times \vec{v} = -\vec{v} \times \vec{u} \) и \( \vec{u} \times \vec{u} = 0 \).
= \( -\vec{A}\times\vec{C} + 6\vec{A}\times\vec{B} - 4\vec{B}\times\vec{C} + 6\vec{A}\times\vec{C} + 4\vec{B}\times\vec{C} \)
= \( 5\vec{A}\times\vec{C} + 6\vec{A}\times\vec{B} \)
Это тоже не дает прямого ответа. Есть более простое геометрическое решение.
Рассмотрим \( \triangle AA₁C \). Точка B — середина AA₁. Следовательно, CB — медиана. \( S_{\triangle ABC} = S_{\triangle A₁BC} = 2 \).
Рассмотрим \( \triangle BB₁A \). Точка C — середина BB₁. Следовательно, AC — медиана. \( S_{\triangle ABC} = S_{\triangle AB₁C} = 2 \).
Рассмотрим \( \triangle CC₁B \). Точка A — середина CC₁. Следовательно, BA — медиана. \( S_{\triangle CBA} = S_{\triangle C₁BA} = 2 \).
Теперь рассмотрим \( \triangle A₁B₁C \). Так как C — середина BB₁, то \( S_{\triangle A₁BC} = S_{\triangle A₁B₁C} = 2 \).
Площадь \( \triangle A₁B₁C₁ \) = \( S_{\triangle A₁B₁C} + S_{\triangle CA₁C₁} \)
Рассмотрим \( \triangle CC₁A \). Точка A — середина CC₁. \( S_{\triangle ACA₁} = S_{\triangle CC₁A₁} \).
У нас есть:
\( S_{\triangle ABC} = 2 \)
\( S_{\triangle A₁BC} = 2 \) (так как AB = BA₁)
\( S_{\triangle B₁CA} = 2 \) (так как BC = CB₁)
\( S_{\triangle C₁AB} = 2 \) (так как CA = AC₁)
Площадь \( \triangle A₁B₁C₁ \) = \( S_{\triangle ABC} + S_{\triangle A₁BB₁} + S_{\triangle B₁CC₁} + S_{\triangle C₁AA₁} \) - это неверно.
Используем следующий факт: если точки A₁, B₁, C₁ такие, что \( \vec{OA₁} = \vec{OB} + \vec{OC} - \vec{OA} \), \( \vec{OB₁} = \vec{OC} + \vec{OA} - \vec{OB} \), \( \vec{OC₁} = \vec{OA} + \vec{OB} - \vec{OC} \), то \( S_{\triangle A₁B₁C₁} = 3 S_{\triangle ABC} \).
В нашем случае:
\( \vec{A₁} = 2\vec{B} - \vec{A} \)
\( \vec{B₁} = 2\vec{C} - \vec{B} \)
\( \vec{C₁} = 2\vec{A} - \vec{C} \)
Сравним с формулами для \( \triangle A₁B₁C₁ \) такого типа:
\( \vec{A₁} = \vec{B} + \vec{C} - \vec{A} \)
\( \vec{B₁} = \vec{C} + \vec{A} - \vec{B} \)
\( \vec{C₁} = \vec{A} + \vec{B} - \vec{C} \)
В этом случае \( S_{\triangle A₁B₁C₁} = 3 S_{\triangle ABC} \).
В нашей задаче:
\( \vec{A₁} - \vec{O} = 2(\vec{B} - \vec{O}) - (\vec{A} - \vec{O}) \) — это отражение точки A относительно B.
\( \vec{B₁} - \vec{O} = 2(\vec{C} - \vec{O}) - (\vec{B} - \vec{O}) \) — это отражение точки B относительно C.
\( \vec{C₁} - \vec{O} = 2(\vec{A} - \vec{O}) - (\vec{C} - \vec{O}) \) — это отражение точки C относительно A.
Если мы строим треугольник, вершины которого являются серединами сторон данного треугольника, то его площадь равна \( \frac{1}{4} S_{\triangle ABC} \).
В нашей задаче каждая сторона треугольника ABC продлена за вершину, и новая точка находится на таком же расстоянии от вершины, как и другая вершина, но с другой стороны. Это означает, что B — середина AA₁, C — середина BB₁, A — середина CC₁.
Рассмотрим \( \triangle AA₁C \). Точка B — середина AA₁. \( S_{\triangle ABC} = S_{\triangle A₁BC} = 2 \).
Рассмотрим \( \triangle BB₁A \). Точка C — середина BB₁. \( S_{\triangle ABC} = S_{\triangle AB₁C} = 2 \).
Рассмотрим \( \triangle CC₁B \). Точка A — середина CC₁. \( S_{\triangle ABC} = S_{\triangle C₁BA} = 2 \).
Теперь рассмотрим \( \triangle A₁B₁C₁ \).
\( S_{\triangle A₁B₁C₁} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle A₁BC} + S_{\triangle B₁CA} + S_{\triangle C₁AB} + S_{\triangle AC B₁} + S_{\triangle BA C₁} + S_{\triangle CB A₁} \) — это неверно.
Есть теорема: если \( \vec{OA₁} = \vec{OB} + \vec{OC} - \vec{OA} \), \( \vec{OB₁} = \vec{OC} + \vec{OA} - \vec{OB} \), \( \vec{OC₁} = \vec{OA} + \vec{OB} - \vec{OC} \), то \( S_{\triangle A₁B₁C₁} = 3 S_{\triangle ABC} \).
В нашей задаче:
\( \vec{A₁} = 2\vec{B} - \vec{A} \)
\( \vec{B₁} = 2\vec{C} - \vec{B} \)
\( \vec{C₁} = 2\vec{A} - \vec{C} \)
Применим к \( \triangle A₁B₁C₁ \) преобразование, которое даст \( \triangle ABC \).
\( \vec{A} = \frac{\vec{A₁} + \vec{B}}{2} \) — неверно.
\( \vec{B} = \frac{\vec{A} + \vec{A₁}}{2} \)
\( \vec{C} = \frac{\vec{B} + \vec{B₁}}{2} \)
\( \vec{A} = \frac{\vec{C} + \vec{C₁}}{2} \)
Рассмотрим \( \triangle A₁B₁C₁ \). Его площадь можно выразить через площадь \( \triangle ABC \).
\( S_{\triangle A₁BB₁} \) — треугольник, основание \( BB₁ = 2BC \), высота из \( A₁ \) на \( BB₁ \) такая же, как из \( A \) на \( BC \).
\( S_{\triangle A₁BB₁} = \frac{1}{2} × BB₁ × h_{A₁} = \frac{1}{2} × 2BC × h_{A₁} \). \( h_{A₁} \) — высота из \( A₁ \) на \( BC \). \( h_{A₁} = h_{A} \), где \( h_{A} \) — высота из \( A \) на \( BC \).
\( S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} BC × h_{A} \) = 2.
\( S_{\triangle A₁BB₁} = BC × h_{A} = 2 S_{\triangle ABC} = 2 × 2 = 4 \).
Аналогично, \( S_{\triangle B₁CC₁} = 4 \) и \( S_{\triangle C₁AA₁} = 4 \).
Теперь нам нужно рассмотреть центральный треугольник \( \triangle ABC \) и три
