198. Сторона правильного многоугольника равна а, радиус вписанной окружности равен г. Найдите радиус описанной окружности. 199. Около окружности описан правильный шестиугольник со стороной 4√3 см. Найдите сторону квадрата, вписанного в эту окружность. 200. В окружность вписан квадрат со стороной 6√2 см. Найдите сторону правильного треугольника, описанного около этой окружности. 201. Диаметр круга равен 16 см. Можно ли из него вырезать квадрат со стороной 12 см? 202. Каким должен быть наименьший диаметр круглого бревна, чтобы из него можно было изготовить брус, поперечным сечением которого является правильный треугольник со стороной 15 см? 203. Каким должен быть наименьший диаметр круглого бревна, чтобы из него можно было изготовить брус, поперечным сечением которого является квадрат со стороной 14 см? 204. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, угол которого на 36° больше его центрального угла? 205. Угол между радиусами вписанной окружности правильного много- угольника, проведёнными в точки касания этой окружности с сосед- ними сторонами многоугольника, равен 20°. Найдите количество сто- рон многоугольника. 206. Докажите, что все диагонали правильного пятиугольника равны. 207. Докажите, что каждая диагональ правильного пятиугольника парал- лельна одной из его сторон.

198. Сторона правильного многоугольника равна \( a \), радиус вписанной окружности равен \( r \). Найдите радиус описанной окружности.

К сожалению, для произвольного правильного многоугольника нет простой общей формулы, выражающей радиус описанной окружности непосредственно через сторону и радиус вписанной окружности. Эта зависимость будет разной для разных типов многоугольников (треугольник, квадрат, пятиугольник и т.д.).

Если известны дополнительные данные о многоугольнике (например, количество сторон), можно использовать соответствующие формулы для вычисления радиуса описанной окружности.

199. Около окружности описан правильный шестиугольник со стороной \( 4\sqrt{3} \) см. Найдите сторону квадрата, вписанного в эту окружность.

1. Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен высоте равностороннего треугольника, образованного стороной шестиугольника. Высота равностороннего треугольника со стороной \( a \) равна \( \frac{a\sqrt{3}}{2} \).
2. В нашем случае, сторона шестиугольника \( a = 4\sqrt{3} \) см, поэтому радиус окружности равен: \[r = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6 \text{ см}\]
3. Теперь найдем сторону квадрата, вписанного в эту окружность. Диагональ квадрата равна диаметру окружности, то есть \( 2r = 12 \) см.
4. Если сторона квадрата равна \( b \), то его диагональ равна \( b\sqrt{2} \). Следовательно, \( b\sqrt{2} = 12 \).
5. Найдем сторону квадрата: \[b = \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \text{ см}\]

200. В окружность вписан квадрат со стороной \( 6\sqrt{2} \) см. Найдите сторону правильного треугольника, описанного около этой окружности.

1. Диагональ квадрата равна \( 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 12 \) см, что является диаметром описанной окружности.
2. Радиус окружности равен половине диаметра: \( r = \frac{12}{2} = 6 \) см.
3. Сторона правильного треугольника, описанного около окружности радиуса \( r \), равна \( a = 2r\sqrt{3} \).
4. Тогда сторона треугольника равна: \[a = 2 \cdot 6 \cdot \sqrt{3} = 12\sqrt{3} \text{ см}\]

201. Диаметр круга равен 16 см. Можно ли из него вырезать квадрат со стороной 12 см?

1. Диаметр круга равен 16 см, значит, радиус равен 8 см.
2. Диагональ квадрата со стороной 12 см равна \( 12\sqrt{2} \) см.
3. Сравним диагональ квадрата и диаметр круга: \( 12\sqrt{2} \approx 12 \cdot 1.41 = 16.92 \) см.
4. Так как диагональ квадрата (16.92 см) больше диаметра круга (16 см), то из данного круга нельзя вырезать квадрат со стороной 12 см.

Ответ: Нет, нельзя.

202. Каким должен быть наименьший диаметр круглого бревна, чтобы из него можно было изготовить брус, поперечным сечением которого является правильный треугольник со стороной 15 см?

1. Высота равностороннего треугольника со стороной \( a = 15 \) см равна \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \).
2. Подставим значение стороны: \[h = \frac{15\sqrt{3}}{2} \approx \frac{15 \cdot 1.732}{2} \approx 12.99 \text{ см}\]
3. Наименьший диаметр бревна должен быть равен высоте треугольника, то есть 12.99 см.

Ответ: Примерно 12.99 см.

203. Каким должен быть наименьший диаметр круглого бревна, чтобы из него можно было изготовить брус, поперечным сечением которого является квадрат со стороной 14 см?

1. Диагональ квадрата со стороной \( a = 14 \) см равна \( d = a\sqrt{2} \).
2. Подставим значение стороны: \[d = 14\sqrt{2} \approx 14 \cdot 1.414 \approx 19.796 \text{ см}\]
3. Наименьший диаметр бревна должен быть равен диагонали квадрата, то есть примерно 19.8 см.

Ответ: Примерно 19.8 см.

204. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, угол которого на 36° больше его центрального угла?

1. Внутренний угол правильного \( n \)-угольника равен \( \frac{180(n-2)}{n} \) градусов.
2. Центральный угол правильного \( n \)-угольника равен \( \frac{360}{n} \) градусов.
3. По условию, внутренний угол на 36° больше центрального угла, то есть: \[\frac{180(n-2)}{n} = \frac{360}{n} + 36\]
4. Умножим обе части уравнения на \( n \): \[180(n-2) = 360 + 36n\]
5. Раскроем скобки: \[180n - 360 = 360 + 36n\]
6. Перенесем слагаемые с \( n \) в одну сторону, а числа в другую: \[180n - 36n = 360 + 360\]
7. Упростим: \[144n = 720\]
8. Найдем \( n \): \[n = \frac{720}{144} = 5\]

Ответ: 5 сторон (пятиугольник).

205. Угол между радиусами вписанной окружности правильного многоугольника, проведёнными в точки касания этой окружности с соседними сторонами многоугольника, равен 20°. Найдите количество сторон многоугольника.

1. Угол между радиусами, проведёнными в точки касания соседних сторон, является внешним углом центрального угла.
2. Центральный угол правильного \( n \)-угольника равен \( \frac{360}{n} \) градусов.
3. Угол между радиусами равен 20°, значит, центральный угол равен 180° - 20° = 160°.
4. Но это не правильно. Угол между радиусами и есть центральный угол. \(\frac{360}{n} = 20\)
5. Тогда \(n = \frac{360}{20} = 18\)

Ответ: 18 сторон.

206. Докажите, что все диагонали правильного пятиугольника равны.

В правильном пятиугольнике все стороны и все углы равны. Рассмотрим диагонали, проведённые из одной вершины. Например, из вершины A можно провести две диагонали: AC и AD. Треугольники ABC и AED равны по двум сторонам (AB = AE как стороны пятиугольника, BC = ED как стороны пятиугольника) и углу между ними (угол B равен углу E как углы правильного пятиугольника). Следовательно, AC = AD. Аналогично можно доказать равенство всех диагоналей.

207. Докажите, что каждая диагональ правильного пятиугольника параллельна одной из его сторон.

Рассмотрим правильный пятиугольник ABCDE. Проведём диагональ AC. Угол BAC равен углу BCA, так как треугольник ABC равнобедренный (AB = BC). Сумма углов пятиугольника равна (5-2) * 180° = 540°, следовательно, каждый угол равен 540° / 5 = 108°. Угол ABC = 108°, значит, углы BAC и BCA равны (180° - 108°) / 2 = 36°. Угол BAE также равен 108°. Угол EAC = BAE - BAC = 108° - 36° = 72°. Угол AED = 108°. Угол DEC = (180 - 108) = 72. В итоге, прямая АC параллельна ED, так как внутренние односторонние углы составляют 180 градусов.