Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 30, а высота — 15. Найдите значение выражения $$\frac{4S}{9}$$, где S — площадь сечения пирамиды, которое делит пополам двугранный угол при основании пирамиды.

Question

Вопрос:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Дано:

Найти:

Решение:

Основание — правильный треугольник. Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле:
\[ S_{\text{осн}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \]
Подставляем значение стороны основания $ a = 30 $:
\[ S_{\text{осн}} = \frac{30^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{900 \sqrt{3}}{4} = 225 \sqrt{3} \]

В правильной треугольной пирамиде апофема лежит в плоскости, перпендикулярной основанию.
Основание апофемы — середина стороны основания (так как пирамида правильная).
Отрезок от центра основания до середины стороны основания (радиус вписанной окружности) равен:
\[ r = \frac{a}{2 \sqrt{3}} = \frac{30}{2 \sqrt{3}} = \frac{15}{\sqrt{3}} = \frac{15 \sqrt{3}}{3} = 5 \sqrt{3} \]
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $ H $, радиусом вписанной окружности $ r $ и апофемой $ h_a $. По теореме Пифагора:
\[ h_a^2 = H^2 + r^2 \]
\[ h_a^2 = 15^2 + (5 \sqrt{3})^2 = 225 + (25 \cdot 3) = 225 + 75 = 300 \]
\[ h_a = \sqrt{300} = 10 \sqrt{3} \]

Сечение, которое делит двугранный угол при основании пополам, является прямоугольным треугольником.
Его основание — сторона основания пирамиды $ a = 30 $.
Его высота — апофема боковой грани $ h_a = 10 \sqrt{3} $.
Площадь этого сечения S равна:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 10 \sqrt{3} = 15 \cdot 10 \sqrt{3} = 150 \sqrt{3} \]

Ответ: $$\frac{200 \sqrt{3}}{3}$$