Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды (см. рис.) равна 4, боковое ребро равно 8. Найдите объём пирамиды.

Решение:

Сторона основания равна 4, боковое ребро равно 8. Объем пирамиды равен: \[V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h\] где \(S\) – площадь основания, а \(h\) – высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания. В основании лежит правильный шестиугольник, который состоит из шести равносторонних треугольников со стороной 4. Площадь одного равностороннего треугольника равна: \[S_{\text{треуг}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{4^2 \sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}\] Тогда площадь шестиугольника равна: \[S = 6 \cdot S_{\text{треуг}} = 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3}\]
2. Найдем высоту пирамиды. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковым ребром и отрезком, соединяющим основание высоты с вершиной основания (центром шестиугольника). Этот отрезок равен стороне шестиугольника, то есть 4. По теореме Пифагора: \[h = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\]
3. Найдем объем пирамиды: \[V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 24\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = 8 \cdot 4 \cdot 3 = 96\]

Ответ: 96

Проверка за 10 секунд: Убедись, что ты правильно применил формулу объема пирамиды и не ошибся в расчетах площади основания и высоты.

Доп. профит: Уровень Эксперт: Попробуй решить эту задачу, используя векторы, чтобы проверить свой ответ и углубить понимание геометрии.