Сторона KN параллелограмма KLMN вдвое больше стороны MN. Точка P – середина стороны KN. а) Докажите, что MP – биссектриса угла LMN. б) Найдите угол LMP, если параллелограмма равен 42°. Ответ дайте в градусах.

a) 1. Так как KLMN – параллелограмм, $$KN \parallel MN$$ и $$KN = MN$$. $$P$$ – середина $$KN$$, значит $$KP = PN = \frac{1}{2} KN = \frac{1}{2} MN$$.
2. Рассмотрим треугольник $$MPN$$. Так как $$KN \parallel MN$$, то $$PN \parallel MN$$. Углы $$MPN$$ и $$PMN$$ как накрест лежащие при параллельных $$KN$$ и $$MN$$ и секущей $$MP$$ равны.
3. Так как $$PN = \frac{1}{2} MN$$, и $$MN$$ является стороной параллелограмма, то $$PN = KP$$. В треугольнике $$MPN$$, $$PN = KP$$, значит треугольник $$MPN$$ равнобедренный. Углы $$MPN$$ и $$PMN$$ равны.
4. Так как $$MP$$ делит угол $$LMN$$ на два равных угла, $$MP$$ является биссектрисой угла $$LMN$$.
b) 1. Угол $$LMN = 42^\circ$$. Так как $$MP$$ – биссектриса, угол $$PMN = \frac{1}{2} LMN = \frac{1}{2} 42^\circ = 21^\circ$$.
2. Угол $$KMN$$ равен углу $$LMN$$ как противоположные углы параллелограмма, то есть $$KMN = 42^\circ$$.
3. Угол $$LMP = LMN - PMN = 42^\circ - 21^\circ = 21^\circ$$.