Стержень спаян из двух одинаковых по сечению стержней, изготовленных из материалов с плотностями р₁ и р₂, причём р₂/р₁ = 1,44. При каком отношении длин l₁/l₂ центр масс системы будет находиться в плоскости спая? Ответ округлите до десятых.

Решение:

Задача сводится к определению положения центра масс системы из двух стержней. Центр масс системы находится в плоскости спая, когда момент инерции каждой части относительно этой плоскости равен нулю. Для стержней одинаковой длины и площади поперечного сечения, но разной плотности, масса пропорциональна плотности.

Пусть \( m_1 \) и \( m_2 \) — массы первого и второго стержней соответственно. Тогда:

\( m_1 = \rho_1 \cdot V_1 \)

\( m_2 = \rho_2 \cdot V_2 \)

Поскольку стержни имеют одинаковую площадь поперечного сечения (обозначим ее \( S \)) и одинаковую длину (обозначим \( l \) для упрощения, так как ищем отношение длин, а не абсолютные значения, и в конечном счете они сократятся, но чтобы понять логику, предположим, что \( l_1 = l_2 = l \)), то объем каждого стержня \( V_1 = S \cdot l_1 \) и \( V_2 = S \cdot l_2 \).

Однако, по условию, нас интересует положение центра масс в плоскости спая. Это значит, что расстояние от плоскости спая до центра масс первого стержня должно быть таким же, как и до центра масс второго стержня, с учетом их масс.

Центр масс первого стержня находится на расстоянии \( \frac{l_1}{2} \) от его левого конца, а центр масс второго стержня — на расстоянии \( \frac{l_2}{2} \) от его левого конца (который является плоскостью спая).

Для того, чтобы центр масс системы находился в плоскости спая, мы должны учитывать моменты масс относительно этой плоскости. Центр масс системы \( x_{cm} \) вычисляется по формуле:

\[ x_{cm} = \frac{\sum_{i} m_i x_i}{\sum_{i} m_i} \]

Пусть плоскость спая будет началом координат \( x = 0 \). Тогда центр масс первого стержня (слева от спая) будет находиться на координате \( x_1 = -\frac{l_1}{2} \), а центр масс второго стержня (справа от спая) — на координате \( x_2 = \frac{l_2}{2} \).

Для того, чтобы центр масс системы находился в плоскости спая (т.е. \( x_{cm} = 0 \)), необходимо выполнение условия:

\[ m_1 \cdot (-\frac{l_1}{2}) + m_2 \cdot (\frac{l_2}{2}) = 0 \]

\[ -m_1 l_1 + m_2 l_2 = 0 \]

\[ m_2 l_2 = m_1 l_1 \]

Подставим выражения для масс: \( m_1 = \rho_1 S l_1 \) и \( m_2 = \rho_2 S l_2 \).

\[ (\rho_2 S l_2) l_2 = (\rho_1 S l_1) l_1 \]

\[ \rho_2 l_2^2 = \rho_1 l_1^2 \]

Теперь найдем отношение длин \( \frac{l_1}{l_2} \):

\[ \frac{l_1^2}{l_2^2} = \frac{\rho_2}{\rho_1} \]

\[ (\frac{l_1}{l_2})^2 = \frac{\rho_2}{\rho_1} \]

Нам дано, что \( \frac{\rho_2}{\rho_1} = 1.44 \). Подставим это значение:

\[ (\frac{l_1}{l_2})^2 = 1.44 \]

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

\[ \frac{l_1}{l_2} = \sqrt{1.44} \]

\[ \frac{l_1}{l_2} = 1.2 \]

Ответ нужно округлить до десятых, но результат уже имеет один знак после запятой.

Ответ: 1.2