"Статистика. Множества" 1 вариант 1) Дан числовой набор: 6, -12, 12, 3, -3, 0, 8, 10. Найдите для данного набора чисел: а) среднее арифметическое; б) медиану; в) размах; г) дисперсию, д) стандартное отклонение. 2) Изобразите на диаграмме Эйлера множества А и В, для которых выполняются соотношения: a) ANB-A 6) AUB-A B) AUB= Ø. 2 вариант 1) Дан числовой набор: 5, -14,14, 5, -5, 0, 7, 8, 10.. Найдите для данного набора чисел: а) среднее арифметическое; б) медиану; в) размах; г) дисперсию, д) стандартное отклонение. 2) Изобразите на диаграмме Эйлера множества А и В, для которых выполняются соотношения: a) XNY=Y 6) XUY=X B) XUY= Ø.

Разберем каждое задание и каждый вариант отдельно.

1 вариант

1) Дан числовой набор: 6, -12, 12, 3, -3, 0, 8, 10. Найдите для данного набора чисел:

a) среднее арифметическое;

Для того чтобы найти среднее арифметическое, нужно сложить все числа в наборе и разделить на количество этих чисел. В данном наборе 8 чисел.

$$\frac{6 + (-12) + 12 + 3 + (-3) + 0 + 8 + 10}{8} = \frac{24}{8} = 3$$

Ответ: Среднее арифметическое равно 3.

б) медиану;

Для того чтобы найти медиану, нужно сначала упорядочить числовой набор по возрастанию: -12, -3, 0, 3, 6, 8, 10, 12. Так как в наборе четное количество чисел (8), медиана будет средним арифметическим двух чисел, находящихся посередине.

$$\frac{3 + 6}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$$

Ответ: Медиана равна 4.5.

в) размах;

Размах - это разница между наибольшим и наименьшим числом в наборе.

$$12 - (-12) = 12 + 12 = 24$$

Ответ: Размах равен 24.

г) дисперсию,

Дисперсия - это мера разброса чисел относительно их среднего значения. Для ее нахождения необходимо:

1. Найти среднее арифметическое (уже нашли, оно равно 3).
2. Для каждого числа вычесть среднее и возвести в квадрат.
3. Сложить все полученные значения.
4. Разделить на количество чисел в наборе.

$$ \frac{(6-3)^2 + (-12-3)^2 + (12-3)^2 + (3-3)^2 + (-3-3)^2 + (0-3)^2 + (8-3)^2 + (10-3)^2}{8} = $$ $$\frac{3^2 + (-15)^2 + 9^2 + 0^2 + (-6)^2 + (-3)^2 + 5^2 + 7^2}{8} = $$ $$\frac{9 + 225 + 81 + 0 + 36 + 9 + 25 + 49}{8} = \frac{434}{8} = 54.25$$

Ответ: Дисперсия равна 54.25.

д) стандартное отклонение.

Стандартное отклонение - это квадратный корень из дисперсии.

$$\sqrt{54.25} \approx 7.365$$

Ответ: Стандартное отклонение примерно равно 7.365.

2) Изобразите на диаграмме Эйлера множества А и В, для которых выполняются соотношения:

a) $$A \cap B = A$$

Это означает, что множество A полностью содержится в множестве B.

      B
   +-------+
   |   A   |
   | +---+ |
   | |   | |
   | +---+ |
   +-------+

б) $$A \cup B = A$$

Это означает, что множество B полностью содержится в множестве A.

    A
  +-------+
  |   B   |
  | +---+ |
  | |   | |
  | +---+ |
  +-------+

в) $$A \cup B = \emptyset$$

Это означает, что множества A и B не пересекаются и являются пустыми.

     A           B
   +---+       +---+ 
   |   |       |   |
   +---+       +---+   

2 вариант

1) Дан числовой набор: 5, -14, 14, 5, -5, 0, 7, 8, 10. Найдите для данного набора чисел:

a) среднее арифметическое;

Для того чтобы найти среднее арифметическое, нужно сложить все числа в наборе и разделить на количество этих чисел. В данном наборе 9 чисел.

$$\frac{5 + (-14) + 14 + 5 + (-5) + 0 + 7 + 8 + 10}{9} = \frac{30}{9} = \frac{10}{3} \approx 3.333$$

Ответ: Среднее арифметическое примерно равно 3.333.

б) медиану;

Для того чтобы найти медиану, нужно сначала упорядочить числовой набор по возрастанию: -14, -5, 0, 5, 5, 7, 8, 10, 14. Так как в наборе нечетное количество чисел (9), медиана будет числом, находящимся посередине.

Ответ: Медиана равна 5.

в) размах;

Размах - это разница между наибольшим и наименьшим числом в наборе.

$$14 - (-14) = 14 + 14 = 28$$

Ответ: Размах равен 28.

г) дисперсию,

Дисперсия - это мера разброса чисел относительно их среднего значения. Для ее нахождения необходимо:

1. Найти среднее арифметическое (уже нашли, оно равно 10/3).
2. Для каждого числа вычесть среднее и возвести в квадрат.
3. Сложить все полученные значения.
4. Разделить на количество чисел в наборе.

Чтобы упростить вычисления, будем использовать среднее арифметическое в виде дроби.

$$ \frac{(5-\frac{10}{3})^2 + (-14-\frac{10}{3})^2 + (14-\frac{10}{3})^2 + (5-\frac{10}{3})^2 + (-5-\frac{10}{3})^2 + (0-\frac{10}{3})^2 + (7-\frac{10}{3})^2 + (8-\frac{10}{3})^2 + (10-\frac{10}{3})^2}{9} = $$ $$\frac{(\frac{5}{3})^2 + (\frac{-52}{3})^2 + (\frac{32}{3})^2 + (\frac{5}{3})^2 + (\frac{-25}{3})^2 + (\frac{-10}{3})^2 + (\frac{11}{3})^2 + (\frac{14}{3})^2 + (\frac{20}{3})^2}{9} = $$ $$\frac{\frac{25}{9} + \frac{2704}{9} + \frac{1024}{9} + \frac{25}{9} + \frac{625}{9} + \frac{100}{9} + \frac{121}{9} + \frac{196}{9} + \frac{400}{9}}{9} = \frac{\frac{5220}{9}}{9} = \frac{5220}{81} \approx 64.444$$

Ответ: Дисперсия примерно равна 64.444.

д) стандартное отклонение.

Стандартное отклонение - это квадратный корень из дисперсии.

$$\sqrt{64.444} \approx 8.028$$

Ответ: Стандартное отклонение примерно равно 8.028.

2) Изобразите на диаграмме Эйлера множества А и В, для которых выполняются соотношения:

a) $$X \cap Y = Y$$

Это означает, что множество Y полностью содержится в множестве X.

      X
   +-------+
   |   Y   |
   | +---+ |
   | |   | |
   | +---+ |
   +-------+

б) $$X \cup Y = X$$

Это означает, что множество Y полностью содержится в множестве X.

      X
   +-------+
   |   Y   |
   | +---+ |
   | |   | |
   | +---+ |
   +-------+

в) $$X \cup Y = \emptyset$$

Это означает, что множества X и Y не пересекаются и являются пустыми.

     X           Y
   +---+       +---+ 
   |   |       |   |
   +---+       +---+