485 Срок службы Т нового смартфона (в годах) имеет геометрическое распре деление. Вероятность того, что смартфон выйдет из строя в течение перво- го года, равна р = 0,2. Сформулируйте словами событие и найдите его ве- роятность: a) P(T = 3); б) Р(Т = 4); в) Р(T≤4); г) Р(Т > 3).

Ответ:

а) P(T = 3) — вероятность того, что смартфон проработает 2 года и выйдет из строя на третий год. \[P(T = 3) = q^2 \cdot p = (0.8)^2 \cdot 0.2 = 0.64 \cdot 0.2 = 0.128\] б) P(T = 4) — вероятность того, что смартфон проработает 3 года и выйдет из строя на четвертый год. \[P(T = 4) = q^3 \cdot p = (0.8)^3 \cdot 0.2 = 0.512 \cdot 0.2 = 0.1024\] в) P(T ≤ 4) — вероятность того, что смартфон выйдет из строя в течение первых четырех лет. Это сумма вероятностей выхода из строя в первый, второй, третий и четвертый годы. \[P(T \le 4) = p + qp + q^2p + q^3p = 0.2 + 0.8 \cdot 0.2 + (0.8)^2 \cdot 0.2 + (0.8)^3 \cdot 0.2\] \[P(T \le 4) = 0.2 + 0.16 + 0.128 + 0.1024 = 0.5904\] г) P(T > 3) — вероятность того, что смартфон проработает более трех лет. Это значит, что он не выйдет из строя в первые три года. Можно рассчитать как 1 минус вероятность выхода из строя в течение первых трех лет. \[P(T > 3) = 1 - (p + qp + q^2p) = 1 - (0.2 + 0.8 \cdot 0.2 + (0.8)^2 \cdot 0.2)\] \[P(T > 3) = 1 - (0.2 + 0.16 + 0.128) = 1 - 0.488 = 0.512\]

Проверка за 10 секунд: Убедись, что P(T ≤ 4) + P(T > 4) ≈ 1, так как события взаимоисключающие и составляют полную группу.

Доп. профит: База. Геометрическое распределение применимо в различных областях, включая анализ надежности оборудования, прогнозирование спроса и оценку рисков в страховании.