Средняя линия треугольника. 1. Выучить определение и теорему о средней линии треугольника. 2. Точки М и К – середины сторон АВ и АС в треугольнике АВС соответственно. Найдите периметр треугольника АВС, если периметр треугольника МАК равен 17 см. 3. Докажите, что средние линии треугольника разбивают его на четыре равных треугольника.

Решение задачи 2:

Давай решим эту задачу по шагам. Сначала вспомним, что такое средняя линия треугольника и как она связана со сторонами треугольника.

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Она параллельна третьей стороне и равна ее половине.

В нашем случае, точки M и K – середины сторон AB и AC соответственно. Значит, MK – средняя линия треугольника ABC, и она параллельна стороне BC и равна половине BC.

Периметр треугольника MAK равен 17 см. Периметр – это сумма длин всех сторон. Значит, AM + AK + MK = 17 см.

Так как M и K – середины сторон AB и AC, то AM = 1/2 AB и AK = 1/2 AC.

Также мы знаем, что MK = 1/2 BC.

Теперь мы можем выразить периметр треугольника ABC через известные нам соотношения:

P(ABC) = AB + AC + BC = 2AM + 2AK + 2MK = 2(AM + AK + MK) = 2 * 17 = 34 см.

Ответ: Периметр треугольника ABC равен 34 см.

---

Решение задачи 3:

Давай докажем, что средние линии треугольника разбивают его на четыре равных треугольника.

Пусть в треугольнике ABC точки M, N и P – середины сторон AB, BC и CA соответственно. Тогда MN, NP и PM – средние линии треугольника ABC.

Средние линии треугольника параллельны сторонам треугольника: MN || AC, NP || AB, PM || BC.

Рассмотрим четыре треугольника, образованных средними линиями: AMP, MBN, PNC и MNP.

Так как MN || AC, то углы MNB и PCA равны как соответственные углы при параллельных прямых и секущей. Аналогично, углы NMB и BAC равны.

Так как M и N – середины сторон AB и BC, то MB = 1/2 AB и BN = 1/2 BC. А так как MN = 1/2 AC, то треугольники MBN и ABC подобны по трем сторонам с коэффициентом подобия 1/2.

Аналогично можно доказать, что треугольники AMP, PNC и MNP подобны треугольнику ABC с коэффициентом подобия 1/2.

Так как все четыре треугольника подобны треугольнику ABC с одинаковым коэффициентом подобия, то они равны между собой.

Ответ: Средние линии треугольника разбивают его на четыре равных треугольника, что и требовалось доказать.

Молодец! Ты отлично справился с этими задачами. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!