Среднее значение функции y = x²+1 на интервале [0;1] равно...

Решение:

Чтобы найти среднее значение функции \( f(x) \) на интервале \( [a, b] \), используется формула:

\[ f_{ср} = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) dx \]

В нашем случае \( f(x) = x^2 + 1 \), \( a = 0 \), \( b = 1 \).

1. Найдём определённый интеграл от функции \( f(x) = x^2 + 1 \) на интервале \( [0, 1] \):

\[ \int_{0}^{1} (x^2 + 1) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_{0}^{1} \]

\[ = \left( \frac{1^3}{3} + 1 \right) - \left( \frac{0^3}{3} + 0 \right) = \frac{1}{3} + 1 - 0 = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} = \frac{4}{3} \]

2. Теперь вычислим среднее значение функции, используя формулу:

\[ f_{ср} = \frac{1}{1-0} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{3} \]

Ответ: 4/3