5. Среднее арифметическое набора чисел равно 8, а дисперсия равна 5. Каждое число набора умножили на -3 и после этого увеличили на 2. Найдите а) среднее значение и б) дисперсию полученного набора.

Решение: a) Пусть \( X \) - исходный набор чисел, а \( \bar{X} \) - его среднее арифметическое, и \( D(X) \) - дисперсия. Нам дано: \( \bar{X} = 8 \) и \( D(X) = 5 \). Каждое число умножили на \( -3 \) и увеличили на 2. Обозначим новый набор как \( Y \), где \( Y = -3X + 2 \). Среднее значение нового набора \( \bar{Y} \) можно найти, используя свойства среднего арифметического: \[ \bar{Y} = -3\bar{X} + 2 \] Подставляем \( \bar{X} = 8 \): \[ \bar{Y} = -3(8) + 2 = -24 + 2 = -22 \] Дисперсия нового набора \( D(Y) \) находится через дисперсию исходного набора. При умножении всех чисел на константу, дисперсия умножается на квадрат этой константы. При прибавлении константы к каждому числу, дисперсия не меняется. \[ D(Y) = D(-3X + 2) = (-3)^2 D(X) = 9 D(X) \] Подставляем \( D(X) = 5 \): \[ D(Y) = 9(5) = 45 \] Ответ: а) Среднее значение нового набора: -22 б) Дисперсия нового набора: 45