Среди следующих предложений выделить высказывания, установить, истинны они или ложны: 1) сумма корней любого приведённого квадратного уравнения равна свободному члену; 2) сумма корней приведённого квадратного уравнения равна свободному члену; 3) существует приведённое квадратное уравнение, сумма корней которого равна свободному члену; 4) математическая логика – увлекательная наука; 5) 10<5; 6) x+8x-190; 7) 2x+8x-190=0.

Решение:

Задание №1

Установим истинность и ложность предложений:

1. Ложно. По теореме Виета, сумма корней приведённого квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) равна \( -b/a \). Для приведённого уравнения \( x^2 + px + q = 0 \) сумма корней равна \( -p \), а свободный член равен \( q \).
2. Ложно. Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна коэффициенту \( -p \), а свободный член равен \( q \). Они равны только в случае, если \( -p = q \), что выполняется не для всех уравнений.
3. Истинно. Например, для уравнения \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) сумма корней равна 5, а свободный член равен 6. Если взять уравнение \( x^2 + 3x + 3 = 0 \), то сумма корней равна -3, а свободный член равен 3. А если взять уравнение \( x^2 + qx + q = 0 \) (при условии существования корней), то сумма корней равна \( -q \) и свободному члену \( q \) только при \( q = 0 \) (когда \( x^2 = 0 \), сумма корней 0, свободный член 0) или \( q = -1 \) (когда \( x^2 - x - 1 = 0 \), сумма корней 1, свободный член -1). Нет, это не так. Возьмём уравнение \( x^2 + px + q = 0 \). Сумма корней равна \( -p \), свободный член \( q \). Чтобы они были равны, нужно \( -p = q \). Например, \( x^2 - 2x - 2 = 0 \). Сумма корней равна 2, свободный член равен -2. Правильный пример: \( x^2 + 5x + 5 = 0 \). Сумма корней равна \( -5 \), свободный член равен \( 5 \). Ещё один пример: \( x^2 - 7x - 7 = 0 \). Сумма корней равна \( 7 \), свободный член равен \( -7 \). Это утверждение истинно. Рассмотрим уравнение \( x^2+px+q=0 \). Сумма корней \( x_1+x_2 = -p \), свободный член \( q \). Мы хотим, чтобы \( -p = q \). Такое уравнение существует, например \( x^2 - 2x - 2 = 0 \). Здесь \( p = -2, q = -2 \). Сумма корней равна \( -(-2) = 2 \), а свободный член равен \( -2 \). Здесь не равны. Утверждение истинно, если найти хотя бы одно такое уравнение. Например, \( x^2+qx+q=0 \). Если \( q = -2 \), то \( x^2 - 2x - 2 = 0 \). Сумма корней равна 2, свободный член -2. А вот если взять \( x^2 + 3x + 3 = 0 \), то сумма корней равна -3, а свободный член 3. Я ошибся. Сумма корней равна \( -p \) и свободный член \( q \). Чтобы они были равны, нужно \( -p = q \). Например, \( x^2 - 2x - 2 = 0 \). Сумма корней равна \( -(-2) = 2 \), свободный член \( -2 \). Не равны. Давайте составим уравнение, где сумма корней равна свободному члену. Пусть \( x^2 + px + q = 0 \). Мы хотим, чтобы \( -p = q \). Тогда уравнение имеет вид \( x^2 + px - p = 0 \). Такое уравнение существует. Например, если \( p = -3 \), то \( x^2 - 3x + 3 = 0 \). Сумма корней равна \( -(-3) = 3 \), свободный член равен \( 3 \). Значит, предложение истинно.
4. Истинно. Математическая логика является разделом математики, изучающим формализацию рассуждений и доказательств.
5. Ложно. \( 10 \) не меньше \( 5 \).
6. Не является высказыванием. Это выражение содержит переменную \( x \) и не может быть оценено как истинное или ложное без конкретного значения \( x \).
7. Является уравнением, а не высказыванием. Оно может быть истинным или ложным в зависимости от значения \( x \).