Среди перечисленных функций выберите только те, которые являются первообразными для функции y(x) = x².

Решение:

Чтобы найти первообразные для функции \( y(x) = x^2 \), нужно проинтегрировать её. Используем правило интегрирования степенной функции: \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \).

Применяем правило к \( y(x) = x^2 \):

• \( \int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^3}{3} + C \)

Теперь сравним полученный результат с предложенными вариантами:

• \( F(x) = \frac{x^3}{3} + C \) — это первообразная.
• \( F(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + C \) — это не первообразная, так как добавлена функция \( -x^2 \).
• \( F(x) = \frac{x^3}{3} + 3 \) — это первообразная (константа \( C = 3 \)).
• \( F(x) = \frac{x^3}{3} - 4 \) — это первообразная (константа \( C = -4 \)).
• \( F(x) = \frac{x^2}{2} + x + C \) — это не первообразная, так как степень \( x \) и коэффициент неверны.

Ответ: Первообразными для функции \( y(x) = x^2 \) являются функции \( F(x) = \frac{x^3}{3} + C \), \( F(x) = \frac{x^3}{3} + 3 \) и \( F(x) = \frac{x^3}{3} - 4 \).