241 Сравните углы треугольника АВС и выясните, может ли быть угол А тупым, если: а) АВ> BC > AC; б) AB = AC < BC.

Для решения данной задачи необходимо вспомнить теорему о соотношениях между сторонами и углами треугольника: в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, и наоборот, против большей стороны лежит больший угол.

а) Дано: AB > BC > AC. Необходимо сравнить углы треугольника ABC и выяснить, может ли угол A быть тупым.

1. Соотношения между сторонами и углами треугольника ABC:
   • Против стороны AB лежит угол ∠C.
   • Против стороны BC лежит угол ∠A.
   • Против стороны AC лежит угол ∠B.
2. Так как AB > BC > AC, то ∠C > ∠A > ∠B.
3. Предположим, что ∠A - тупой, то есть ∠A > 90°. Тогда ∠C > ∠A > 90°.
4. Сумма углов в треугольнике равна 180°, то есть ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
5. Если ∠A > 90° и ∠C > 90°, то ∠A + ∠C > 180°, что противоречит теореме о сумме углов в треугольнике.

Следовательно, угол A не может быть тупым, если AB > BC > AC.

б) Дано: AB = AC < BC. Необходимо сравнить углы треугольника ABC и выяснить, может ли угол A быть тупым.

1. Соотношения между сторонами и углами треугольника ABC:
   • Против стороны AB лежит угол ∠C.
   • Против стороны AC лежит угол ∠B.
   • Против стороны BC лежит угол ∠A.
2. Так как AB = AC, то ∠C = ∠B.
3. Так как AB = AC < BC, то ∠C = ∠B < ∠A.
4. Сумма углов в треугольнике равна 180°, то есть ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
5. Выразим сумму углов через ∠A: ∠A + ∠B + ∠B = 180°, или ∠A + 2∠B = 180°.
6. Выразим ∠B через ∠A: ∠B = (180° - ∠A) / 2.
7. Предположим, что ∠A - тупой, то есть ∠A > 90°.
8. Тогда ∠B = (180° - ∠A) / 2 < (180° - 90°) / 2 = 45°.
9. ∠A < 180°, тогда ∠B = (180° - ∠A) / 2 > 0°.
10. Таким образом, если ∠A > 90°, то 0° < ∠B < 45°.
11. Следовательно, угол A может быть тупым, если AB = AC < BC.

Ответ: а) угол А не может быть тупым; б) угол А может быть тупым.