СР «Второй и третий признаки подобия треугольников» 1. По данным рисунка найдите подобные треугольники и докажите, что они подобны.

Давай разберем по порядку. На рисунке изображены три треугольника: \[\triangle ABC\] , \[\triangle A_1B_1C_1\] и \[\triangle A_2B_2C_2\] .

Для определения подобных треугольников воспользуемся вторым и третьим признаками подобия.

Второй признак подобия треугольников: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Заметим, что на рисунке стороны треугольников \[\triangle ABC\] и \[\triangle A_1B_1C_1\] имеют отметки о равенстве, что позволяет определить пропорциональность сторон.

Рассмотрим треугольники \[\triangle ABC\] и \[\triangle A_1B_1C_1\]:

• Сторона \(AB = 10\) см и сторона \(A_1B_1 = 6\) см.
• Сторона \(BC = 10\) см и сторона \(B_1C_1 = 6\) см.
• Сторона \(AC = 12\) см и сторона \(A_1C_1 = 5\) см.

Отношение сторон \(AB\) к \(A_1B_1\) и \(BC\) к \(B_1C_1\) равно:

\[\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}\]

\[\frac{BC}{B_1C_1} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}\]

Стороны \(AB\) и \(BC\) пропорциональны сторонам \(A_1B_1\) и \(B_1C_1\), но угол между этими сторонами (\(\angle B\) и \(\angle B_1\)) нам не известен, поэтому второй признак подобия использовать не можем.

Проверим отношение всех трёх сторон:

\[\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}\]

\[\frac{BC}{B_1C_1} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}\]

\[\frac{AC}{A_1C_1} = \frac{12}{5}\]

Так как отношение сторон не равно, то данные треугольники не подобны.

Теперь сравним треугольники \[\triangle ABC\] и \[\triangle A_2B_2C_2\]:

• Сторона \(AB = 10\) см и сторона \(A_2B_2 = 20\) см.
• Сторона \(BC = 10\) см и сторона \(B_2C_2 = 20\) см.
• Сторона \(AC = 12\) см и сторона \(A_2C_2 = 24\) см.

Отношение сторон \(AB\) к \(A_2B_2\) и \(BC\) к \(B_2C_2\) равно:

\[\frac{AB}{A_2B_2} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}\]

\[\frac{BC}{B_2C_2} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}\]

Стороны \(AB\) и \(BC\) пропорциональны сторонам \(A_2B_2\) и \(B_2C_2\). Так как \(AB = BC\), то \[\triangle ABC\] - равнобедренный. Аналогично, \(A_2B_2 = B_2C_2\), значит, \[\triangle A_2B_2C_2\] - равнобедренный. Угол при вершине равнобедренного треугольника определяется по формуле: \[\alpha = 180° - 2 \cdot \beta\] , где \(\beta\) - угол при основании. Так как углы при основании равны, то углы при вершинах \(B\) и \(B_2\) тоже равны. Следовательно, \(\angle B = \angle B_2\). Таким образом, по второму признаку подобия треугольников, \[\triangle ABC \sim \triangle A_2B_2C_2\] .

Для проверки рассмотрим отношение всех трёх сторон:

\[\frac{AB}{A_2B_2} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}\]

\[\frac{BC}{B_2C_2} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}\]

\[\frac{AC}{A_2C_2} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}\]

Таким образом, по третьему признаку подобия треугольников, \[\triangle ABC \sim \triangle A_2B_2C_2\] .

Сравним треугольники \[\triangle A_1B_1C_1\] и \[\triangle A_2B_2C_2\]:

• Сторона \(A_1B_1 = 6\) см и сторона \(A_2B_2 = 20\) см.
• Сторона \(B_1C_1 = 6\) см и сторона \(B_2C_2 = 20\) см.
• Сторона \(A_1C_1 = 5\) см и сторона \(A_2C_2 = 24\) см.

Отношение сторон \(A_1B_1\) к \(A_2B_2\) и \(B_1C_1\) к \(B_2C_2\) равно:

\[\frac{A_1B_1}{A_2B_2} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}\]

\[\frac{B_1C_1}{B_2C_2} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}\]

Стороны \(A_1B_1\) и \(B_1C_1\) пропорциональны сторонам \(A_2B_2\) и \(B_2C_2\). Так как \(A_1B_1 = B_1C_1\), то \[\triangle A_1B_1C_1\] - равнобедренный. Аналогично, \(A_2B_2 = B_2C_2\), значит, \[\triangle A_2B_2C_2\] - равнобедренный. Угол при вершине равнобедренного треугольника определяется по формуле: \[\alpha = 180° - 2 \cdot \beta\] , где \(\beta\) - угол при основании. Так как углы при основании равны, то углы при вершинах \(B_1\) и \(B_2\) тоже равны. Следовательно, \(\angle B_1 = \angle B_2\). Таким образом, по второму признаку подобия треугольников, \[\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle A_2B_2C_2\] .

Для проверки рассмотрим отношение всех трёх сторон:

\[\frac{A_1B_1}{A_2B_2} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}\]

\[\frac{B_1C_1}{B_2C_2} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}\]

\[\frac{A_1C_1}{A_2C_2} = \frac{5}{24}\]

Так как отношение сторон не равно, то данные треугольники не подобны.

Ответ: \[\triangle ABC \sim \triangle A_2B_2C_2\]