\(\sqrt[3]{x-16}=\sqrt[3]{x+3}-1\)

Обозначим \(t=\sqrt[3]{x-16}\). Тогда \(\sqrt[3]{x+3}=t+1\).

1. Возведём оба равенства в куб: \(x-16=t^3\), \(x+3=(t+1)^3\).
2. Вычтем первое равенство из второго: \(19=(t+1)^3-t^3\).
3. Раскроем скобки: \(19=3t^2+3t+1\), поэтому \(3t^2+3t-18=0\).
4. Разделим на 3 и разложим на множители: \(t^2+t-6=0\), \((t-2)(t+3)=0\).
5. Получаем \(t=2\) или \(t=-3\).
6. Найдём \(x\):
   • при \(t=2\): \(x=t^3+16=8+16=24\);
   • при \(t=-3\): \(x=t^3+16=-27+16=-11\).

Проверка: при \(x=24\) получаем \(2=3-1\); при \(x=-11\) получаем \(-3=-2-1\).

Ответ: \(x=-11\) и \(x=24\).