sqrt(108)cos^2(pi/12) - sqrt(27).

Чтобы решить это выражение, мы можем упростить каждый член отдельно.

Шаг 1: Упрощение \sqrt{108}

• Разложим 108 на множители: $$108 = 36 \times 3$$.
• Тогда \sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = \sqrt{36} \times \sqrt{3} = 6\sqrt{3}.

Шаг 2: Упрощение \cos^2(\frac{\pi}{12})

• Мы знаем, что \frac{\pi}{12} соответствует 15 градусам.
• Значение \cos(15^{\circ}) можно найти, используя формулу косинуса разности: \cos(45^{\circ} - 30^{\circ}) = \cos(45^{\circ})\cos(30^{\circ}) + \sin(45^{\circ})\sin(30^{\circ})
• = (\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}.
• Теперь возведем это в квадрат: \cos^2(\frac{\pi}{12}) = (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})^2 = \frac{(\sqrt{6})^2 + 2\sqrt{6}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}{16} = \frac{6 + 2\sqrt{12} + 2}{16} = \frac{8 + 2(2\sqrt{3})}{16} = \frac{8 + 4\sqrt{3}}{16} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}.

Шаг 3: Упрощение \sqrt{27}

• Разложим 27 на множители: $$27 = 9 \times 3$$.
• Тогда \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = \sqrt{9} \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3}.

Шаг 4: Сборка выражения

• Подставим упрощенные значения обратно в исходное выражение:
• 6\sqrt{3} \times \frac{2 + \sqrt{3}}{4} - 3\sqrt{3}
• = \frac{6\sqrt{3}(2 + \sqrt{3})}{4} - 3\sqrt{3}
• = \frac{12\sqrt{3} + 6(3)}{4} - 3\sqrt{3}
• = \frac{12\sqrt{3} + 18}{4} - 3\sqrt{3}
• = \frac{12\sqrt{3}}{4} + \frac{18}{4} - 3\sqrt{3}
• = 3\sqrt{3} + \frac{9}{2} - 3\sqrt{3}
• = \frac{9}{2}

Ответ: \frac{9}{2}