Спростіть вираз і знайдіть його значення, якщо m = 3, n = 0,5.

Рішення:

Дано вираз: \( \frac{m^2+16n^2}{m^2-16n^2} - \frac{m+4n}{2m-8n} \).

1. Знайдемо спільний знаменник. Розкладемо знаменники на множники:
• \( m^2-16n^2 = (m-4n)(m+4n) \)
• \( 2m-8n = 2(m-4n) \)
2. Спільний знаменник: \( 2(m-4n)(m+4n) \).
3. Зведемо дроби до спільного знаменника:
• \( \frac{m^2+16n^2}{(m-4n)(m+4n)} = \frac{(m^2+16n^2) \times 2}{2(m-4n)(m+4n)} = \frac{2(m^2+16n^2)}{2(m-4n)(m+4n)} \)
• \( \frac{m+4n}{2(m-4n)} = \frac{(m+4n)(m+4n)}{2(m-4n)(m+4n)} = \frac{(m+4n)^2}{2(m-4n)(m+4n)} \)
4. Спростимо чисельник:
• \( 2(m^2+16n^2) - (m+4n)^2 \)
• \( = (2m^2 + 32n^2) - (m^2 + 8mn + 16n^2) \)
• \( = 2m^2 + 32n^2 - m^2 - 8mn - 16n^2 \)
• \( = (2m^2 - m^2) - 8mn + (32n^2 - 16n^2) \)
• \( = m^2 - 8mn + 16n^2 \)
5. Зверніть увагу, що чисельник \( m^2 - 8mn + 16n^2 \) є повним квадратом: \( (m-4n)^2 \).
6. Отже, вираз має вигляд:
• \( \frac{(m-4n)^2}{2(m-4n)(m+4n)} \)
7. Скоротимо чисельник і знаменник на \( (m-4n) \):
• \( \frac{m-4n}{2(m+4n)} \)
8. Підставимо \( m = 3 \) та \( n = 0.5 \):
• \( m-4n = 3 - 4(0.5) = 3 - 2 = 1 \)
• \( m+4n = 3 + 4(0.5) = 3 + 2 = 5 \)
• \( 2(m+4n) = 2(5) = 10 \)
9. Значення виразу:
• \( \frac{1}{10} \)

Відповідь: \( \frac{1}{10} \).