Сплошной кубик с ребром 10 см плавает на границе раздела воды и неизвестной жидкости, плотность которой меньше плотности воды, погружаясь в воду на 2 см (см. рисунок). Плотность вещества, из которого изготовлен кубик, равна 840 кг/м³. Свободная поверхность неизвестной жидкости располагается выше, чем верхняя поверхность кубика. Определите плотность неизвестной жидкости. Ответ запишите в кг/ м³ с округлением до целого числа. Плотность воды равна 1000 кг/м³. Ускорение свободного падения принять равным 10 м/с².

Решение:

1. Определим объем кубика:

   \[V = a^3 = (0.1 \,\text{м})^3 = 0.001 \,\text{м}^3\]

2. Определим объем кубика, погруженного в воду:

   \[V_{\text{воды}} = a^2 \cdot h = (0.1 \,\text{м})^2 \cdot 0.02 \,\text{м} = 0.0002 \,\text{м}^3\]

3. Определим объем кубика, погруженного в неизвестную жидкость:

   \[V_{\text{неизв}} = V - V_{\text{воды}} = 0.001 \,\text{м}^3 - 0.0002 \,\text{м}^3 = 0.0008 \,\text{м}^3\]

4. Запишем условие равновесия кубика:

   \[mg = F_{\text{арх, воды}} + F_{\text{арх, неизв}}\]

   где:

   • \[m = \rho_{\text{кубика}} \cdot V\] – масса кубика,
   • \[F_{\text{арх, воды}} = \rho_{\text{воды}} \cdot V_{\text{воды}} \cdot g\] – сила Архимеда, действующая на часть кубика в воде,
   • \[F_{\text{арх, неизв}} = \rho_{\text{неизв}} \cdot V_{\text{неизв}} \cdot g\] – сила Архимеда, действующая на часть кубика в неизвестной жидкости.

5. Подставим выражения в условие равновесия:

   \[\rho_{\text{кубика}} \cdot V \cdot g = \rho_{\text{воды}} \cdot V_{\text{воды}} \cdot g + \rho_{\text{неизв}} \cdot V_{\text{неизв}} \cdot g\]

   Разделим обе части на g:

   \[\rho_{\text{кубика}} \cdot V = \rho_{\text{воды}} \cdot V_{\text{воды}} + \rho_{\text{неизв}} \cdot V_{\text{неизв}}\]

6. Выразим плотность неизвестной жидкости:

   \[\rho_{\text{неизв}} = \frac{\rho_{\text{кубика}} \cdot V - \rho_{\text{воды}} \cdot V_{\text{воды}}}{V_{\text{неизв}}}\]

7. Подставим численные значения:

   \[\rho_{\text{неизв}} = \frac{840 \,\frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0.001 \,\text{м}^3 - 1000 \,\frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0.0002 \,\text{м}^3}{0.0008 \,\text{м}^3} = \frac{0.84 - 0.2}{0.0008} \,\frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = \frac{0.64}{0.0008} \,\frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 800 \,\frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\]